АЛГОРИТМИ ПОБУДОВИ МНОЖИННОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ В R³
DOI:
https://doi.org/10.18524/2519-206X.2025.1(45).352813Ключові слова:
опорна функція, функція деформації, функціонал Мінковського, опуклі множини, диференціальні рівняння із множиннозначною правою частиною, похідна Хукухари, алгоритм ЕйлераАнотація
У багатьох прикладних задачах виникає потреба будувати опуклі множини, але якщо ці множини отримуються, як розв’язок математичної моделі, то найчастіше використовується поняття опорної функції. Хоча ця функція визначається тільки для опуклих множин, її можна побудувати також і для опуклих оболонок компактних множин. За допомогою цієї функції можна на просторі опуклих компактів вводити поняття диференціювання та інтегрування. Виникає задача побудови опуклої оболонки множини, якщо відомі значення її опорної функції у деяких напрямках. Для цього можуть бути застосовані три алгоритми. Перший використовує властивість опорної функції і будує множину через перети визначених опорною функцією гіперплощин. Другий алгоритм використовує значення функціоналу Мінковського, який пов’язаний з опорною функцією. Третій будує множину по значенням функції деформації, яка також пов’язана зі значеннями опорної функції. У цій статті ставиться задача порівняти швидкість побудови опуклої для цих трьох алгоритмів. Для розрахунків використовувався процесор Іntel Core і5-13450HX. Також у цій статті реалізовано числовий метод побудови розв’язку для рівнянь з множиннозначною правою частиною, аналогічний до методу Ейлеру.
Посилання
Hukuhara, M. (1967) ‘Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe’, Funkcialaj Ekvacioj, 10, pp. 205–223.
de Blasi, F. S. and Iervolino, F. (1969) ‘Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, 2(4–5), pp. 491–501.
Plotnikov, V., Plotnikov, A. and Vityuk, A. (1999) Differentsialnyye uravneniya s mnogoznachnoy pravoy chastyu. Asimptoticheskiye metody [Differential equation with multivalued righthand side: asymptotic methods]. Odesa: Astroprint, 355 p. [in Russian]
Plotnikov, A. V. and Skrypnyk, N. V. (2009) Differentsialnyye uravneniya s “chetkoy” i nechetkoy mnogoznachnoy pravoy chastyu. Asimptoticheskiye metody. Odesa: Astroprint. [in Russian].
Lakshmikantham, V., Granna Bhaskar, T., and Vasundhara Devi, J. (2006) Theory of set differential equations in metric spaces. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers.
Martynyuk, A. (2019) Qualitative analysis of set-valued differential equations. Cham: Springer Nature Switzerland AG, Birkhäuser.
Perestyuk, N. A., Plotnikov, V. A., Samoilenko, A. M. and Skripnik N. V. (2011) Differential equations with impulse effects: multivalued right-hand sides with discontinuities. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 40. Berlin; Boston: Walter De Gruyter GmbH& Co.
Komleva, T. A., Plotnikov, A. V. and Skrypnyk, N. V. (2008) Differentsialnyye uravneniya s mnogoznachnymi resheniyami, Ukrainian Mathematical Journal, 60(10), pp. 1326–1337. [in Russian].
Lopes, B., Pinto, A. J., de Blast, F. S. and Iervolino, F. (1970) Uniqueness and existence theorems for differential equations with compact convex valued solutions, Ibid, (4), pp. 534–538.
Carja, O., Donchev, T. and Lazu, A. I. (2016) Generalized solutions of semilinear evolution inclusions, SIAM Journal on Optimization, 26(2).
Schneider, R. (2014). Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory. 2nd edn. Springer.
Gruber, P. M. (2007) Convex and Discrete Geometry. Springer.
Bronstein, A. (1985) ‘Approximation of convex sets by polytopes’, Mathematics of Computation, 45, pp. 241–256.
Giannopoulos, A. and Milman V. D. (2000) Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory and applications. Lecture Notes.
Lutwak, E. (1993) ‘Selected affine isoperimetric inequalities’, in Gruber, P. M. and Wills, R. J. (eds.) Handbook of Convex Geometry. Vol. A. North Holland, pp. 151–176.
Gardner, R. J. (2006) Geometric tomography. 2nd edn. Cambridge University Press.
Révész, S. G. and Sarantopoulos, Y. (2004) ‘The generalized Minkowski functional with applications in approximation theory’, Journal of Convex Analysis, 11(2), pp. 303–334.
von Hadwiger, H. (1957) Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer.
Milman, V. and Schechtman G. (1986) Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces. Springer Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1200. Springer.
Dontchev, A. L. and Farkhi, E. M. (1989) ‘Error estimates for discretized differential inclusions’, Computing, 41, pp. 349–358.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) роботи, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
