Метод Ньютона для задачі на власні значення симетричної матриці

Анотація

Розглянуто метод Ньютона обчислення власного значення та відповідного власного вектора дійсної симетричної матриці. Нелінійна система рівнянь, яка розв'язується методом Ньютона, складається з рівняння, що визначає власне значення і власний вектор матриці, та умови нормування власного вектора. Метод дозволяє одночасно обчислювати власне значення і відповідний власний вектор. Початкові наближення для власного значення і відповідного власного вектора можна знайти степеневим методом або методом зворотної ітерації зі зсувом. Запропоновано простий доказ збіжності методу Ньютона в околиці простого власного значення. Показано, що метод має квадратичну швидкість збіжності. За обчислювальними витратами на одну ітерацію метод Ньютона можна порівняти з методом зворотної ітерації з відношенням Релея. На відміну від зворотної ітерації, метод Ньютона дозволяє обчислити власну пару з більшою точністю.