Розбиття цілих гаусових чисел в добуток степенево-вільних

Анотація

Нехай функція $\mathrm{g}_1 (\alpha)$ являє собою число розкладань цілого гаусового числа $\alpha$ у вигляді добутку безквадратних чисел. Нехай функція $\mathrm{g}_2 (\alpha)$ являє собою число розкладань цілого гаусового числа $\alpha$ у вигляді добутку степенево-вільних чисел. В цій статті ми розглянемо суматорні функції $\sum_{N(\alpha)\le x} \mathrm{g}_1 (\alpha)$ та $\sum_{N(\alpha)\le x} \mathrm{g}_2 (\alpha)$ та отримаємо для них асимптотичні формули. Також, ми використаємо аналог теореми K\'{a}tai-Subbarao для вивчення розподілу значень функції $\mathrm{g}_2 (\alpha)$ у випадку, коли степенево-вільні множники розташовані в порядку зростання їх норм.