Обернена нерівнівність Гельдера

Анотація

Нехай \(r \neq 0\) і \(E\) вимірна множина, \(|E| > 0\). Для невід'ємної функції \(f \in L^{r}(E)\) середнім інтегральним порядку \(r\) називається величина \(M_r(f,E) := (|E|^{-1}\int_E f^{r}(x)\, dx)^{1/r}\). В роботі вивчається клас \(RH'_{1,2,1}(R_0)\) функцій \(f\), що задовольняють обернену нерівність Гельдера, \(\langle f\rangle= \sup_{R\subset R_0} [M_2 (f, R) - M (f, R)] < + \infty\). Отримана оцінка швидкості спадання рівновимірних перестановок функцій із цього класі і побудовано приклад, що демонструє, що отримана оцінка є асимптотично точною. Цей результат є аналогом добре відомої теореми Джона--Ніренберга в просторі \(BMO\). Також в роботі отримані оцінки рівновимірних перестановок функцій із \(RH'_{1,2,1}\) з заданою швидкість спадання до нуля різниці середніх інтегральних.