DOI: https://doi.org/10.18524/2519-206x.2019.2(34).190047

Стійкість рівномірного атрактора для еволюційного рівняння другого порядку з розривними траєкторіями

О. В. Капустян, О. А. Капустян, О. В. Перегуда, І. В. Романюк

Анотація


Робота присвячена дослідженню якісної поведінки розв'язків хвильового рівняння, траєкторії якого зазнають імпульсного збурення при досягненні фіксованої (імпульсної) підмножини  в фазовому просторі. Користуючись загальною схемою побудови нескінченновимірної імпульсної динамічної системи та використовуючи поняття рівномірного атрактора — мінімальної компактної рівномірно притягуючої множини, отримано результат щодо існування та явного вигляду рівномірного атрактора для  імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням. Траєкторії такої системи можуть мати нескінченну кількість імпульсних точок при зустрічі з імпульсною підмножиною фазового простору. Таким чином, рівномірний атрактор може мати непорожній перетин з імпульсною множиною, і, як результат,   не мати властивості стійкості. Проте, завдяки додатковим умовам  щодо імпульсних параметрів задачі, у даній роботі  вдалося довести властивість стійкості для не імпульсної частини рівномірного атрактора.

Ключові слова


імпульсна динамічна система, стійкість, імпульсне збурення, рівномірний атрактор, хвильове рівняння

Повний текст:

PDF

Посилання


Samoilenko A. M., Perestyuk M. O. (1987). Dyfferentsyalnie uravnenyia s ympulsnim vozdeistvyem [Differential equations with impulsive action]. Kyiv: Vyshcha shkola, 287 p.

Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. (1989). Theory of impulsive differential equitations. Singapore: World Scientific, 288 p.

Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. (1995). Impulsive differential equitations. Singapore: World Scientific, 462 p.

Akhmet M. (2010). Principles of Discontinuous Dynamical Systems. New York: Springer, 176 p.

Kaul S. K. (1994). Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems. J. Appl. Math. Stoch. Anal., Vol. 7, № 4, P. 509–523.

Pavlidis T. (1996). Stability of a class of discontinuous dynamical systems. Information and control, Vol. 9, P. 298–322.

Ciesielski K. (2004). On stability in impulsive dynamical systems. Bulletin Polish Acad. Sci. Math., Vol. 52, P. 81–91.

Bonotto E. M. (2007). Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems. J. Math. Anal. Appl., Vol. 332, P. 81–96.

Temam R. (1988). Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. New York: Springer, 500 p.

Chepyzhov V. V., Vishik M. I. (2002). Attractors for Equations of Mathematical Physics. Rhode Island: American Mathematical Society, 324 p.

Perestyuk M. O., (2012). Long-time behavior of evolution inclusion with non-damped impulsive effects. Memoirs Diff eq and Math phys, Vol. 56, P. 89–113.

Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. (2016). Global attractors of impulsive infinitedimensional systems. UMJ, Vol. 68, № 4, P. 517–528.

Dashkovskiy S., Feketa P., Kapustyan O. V., Romaniuk I. V. (2018). Invariance and stability of global attractors for multi-valued impulsive dynamical systems. Vol. 458, P. 193–218.

Bonotto E. M, Bortolan M. C., Carvalho A. N., Czaja R. (2015). Global attractors for impulsive dynamical systems — a precompact approach. J Diff Eq, Vol. 259, P. 2602–2625.

Bonotto E. M, Bortolan M. C., Collegari R. , Czaja R. (2016). Semicontinuity of attractors for impulsive dynamical systems. J. Diff. Eq., Vol. 261, № 1, P. 4338–436.

Kapustyan O. V., Perestyuk M. O., Romaniuk I. V. (2018). Stability of global attractors of impulsive infinite-dimensional systems. UMJ, Vol. 70, №1, P. 30–41.

Kapustyan O. V., Pereguda O. V., Romaniuk I. V. (2018) Stability of uniform attractors for one class of impulsive parabolic systems. RMM, Vol. 23, № 2(32), P. 35–44.

Kapustyan O. V., Romaniuk I. V (2019) Global attractors of an impulsive dynamical system generated by the wave equation. J Math Sci, Vol. 236, № 3, P. 300-311.

Bhatia N. P., Szegö G. P. (2002). Stability theory of dynamical systems. New York: Springer, 255 p.

Myshkis A. D. (1996). Vibrations of the string with energy dissipation and impulsive feedback support. Nonlin Anal: Theory, Methods and App., Vol. 26, №7, P. 1271–1278.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием / А. М. Самойленко, H. A. Перестюк. — К.: Вища школа, 1987. — 287 с.

2. Lakshmikantham V. Theory of impulsive differential equitations / V. Lakshmikantham, D. D. Bainov, P. S. Simeonov. – Singapore : World Scientific, 1989. — 288 p.

3. Samoilenko A. M. Impulsive differential equitations / A. M. Samoilenko, N. A. Perestyuk. — Singapore : World Scientific, 1995. — 462 p.

4. Akhmet M. Principles of Discontinuous Dynamical Systems / M. Akhmet. — New York: Springer, 2010. — 176 p.

5. Kaul S. K. Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems / S. K. Kaul // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 1994. — Vol. 7. — №4. — P. 509–523.

6. Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems / T. Pavlidis // Information and control. — 1996. — Vol. 9. — P. 298–322.

7. Ciesielski K. On stability in impulsive dynamical systems / K. Ciesielski //Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics — 2004. — Vol. 52. — P. 81–91.

8. Bonotto E. M. Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems / E. M. Bonotto // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2007. — Vol. 332. — P. 81–96.

9. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics / R. Temam. — New York: Springer, 1988. — 500 p.

10. Chepyzhov V. V. Attractors for Equations of Mathematical Physics / V. V. Chepyzhov, M. I. Vishik — Rhode Island: American Mathematical Society, 2002. — 324 p.

11. Perestyuk M. O. Long-time behavior of evolution inclusion with non-damped impulsive effects / M. O. Perestyuk, O. V. Kapustyan // Memoirs of Differential equations and Mathematical physics. — 2012. — Vol. 56. — P. 89–113.

12. Perestyuk M. O. Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems / M. O. Perestyuk, O. V. Kapustyan // Ukrainian Mathematical Journal. — 2016. — Vol. 68. — №4. — P. 517–528.

13. Dashkovskiy S. Invariance and stability of global attractors for multi-valued impulsive dynamical systems / S. Dashkovskiy, P. Feketa, O. Kapustyan and I. Romaniuk // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2018. — Vol. 458. — P. 193–218.

14. Bonotto E. M. Global attractors for impulsive dynamical systems — a precompact approach / E. M. Bonotto, M. C. Bortolan, A. N. Carvalho and R. Czaja // Journal of Differential Equations. — 2015. — Vol. 259. — P. 2602–2625.

15. Bonotto E. M. Semicontinuity of attractors for impulsive dynamical systems / E. M.Bonotto, M. C. Bortolan, R. Collegari and R. Czaja // Journal of Differential Equations. — 2016. — Vol. 261. — P. 4338–4367.

16. Kapustyan O. V. Stability of global attractors of impulsive infinite-dimensional systems / O. V. Kapustyan, M. O. Perestyuk, I. V. Romaniuk // Ukrainian Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 70. — №1. — P. 30–41.

17. Капустян О. В. Стiйкiсть рiвномiрних атракторiв для одного класу iмпульсних параболiчних систем / O. В. Капустян, О. В. Перегуда, I. В. Романюк // Дослiдження в математицi i механiцi. — 2018. — т. 23. — № 2(32). — С. 35–44.

18. Kapustyan O. V. Global attractors of an impulsive dynamical system generated by the wave equation / O. V. Kapustyan, I. V. Romaniuk // Journal of mathematical Sciences. — 2019. — Vol. 236. — № 3. — P. 300-311.

19. Bhatia N.P. Stability theory of dynamical systems. / N. P. Bhatia , G. P. Szegö. — New York: Springer, 2002. — 255 p.

20. Myshkis A. D. Vibrations of the string with energy dissipation and impulsive feedback support // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. — 1996. — Vol. 26. — №7. — P. 1271–1278.





Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

ISSN: 2519-206X (Print)

DOI: 10.18524/2519-206X