Асимптотика деяких типів одного класу розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь вищих порядків

Анотація

Для диференціального рівняння $y^{(n)}=f(t,y,\ldots,y^{(n-1)})$, де $f:[a,\omega[\times\Delta_{Y_0} \times \Delta_{Y_1} \times \cdots \times \Delta_{Y_{n-1}} \longrightarrow \mathbb{R}$ --- неперервна функція, $-\infty < a<\omega\le +\infty$, $Y_i$ дорівнює або нулю, або $\pm\infty$, $\Delta_{Y_i}$ --- деякий односторонній окіл $Y_i$, $i=0,1,\ldots,n-1$, досліджуються при деяких обмеженнях на функцію $f$ питання про існування, асимптотику і кількість  $P_\omega\left(Y_0,\ldots,Y_{n-1},\frac{n-i-1}{n-i}\right)$- розв'язків для всіх $i\in\{1,\ldots,n-1\}$. Такі розв'язки відносяться до особливих випадків класа $P_\omega(Y_0,\ldots,Y_{n-1},\lambda_0)$- розв'язків, де $-\infty\le\lambda_0\le +\infty$, який був уведений в роботах В. М. Евтухова, що присвячені  диференціальним рівнянням типу Емдена-Фаулера $n$-го порядку. Дані особливі випадки потребують окремого їх розгляду у зв'язку зі специфічними  апріорними асимптотичними властивостями таких розв'язків. Дослідження поставлених питань здійснюється при припущені, що диференціальне рівняння є у деякому сенсі асимптотично близьким до двочленого диференціального рівняння з правильно змінними  нелінійностями.