Алгебри, що породжені теплицевими операторами із спеціальними символами

Анотація

Розглядається ваговий простір Бергмана $\mathcal A_\lambda^2\left(D_n\right)$ $(\lambda>-1)$ в області Зігеля $D_n$, який складається з аналітичних функцій простору $L_2\left(D_n,d\mu_\lambda\right)$, де \begin{equation*} d\mu_\lambda=\frac{c_\lambda}4\left({\rm Im}\,z_n-\left|z'\right|^2 \right)^\lambda\,d\nu(z),\quad c_\lambda=\frac{\Gamma(n+\lambda+1)}{\pi^n\Gamma(\lambda+1)}, \end{equation*} $ d\nu(z)$ -- стандартна міра Лебега в $\mathbb C^n$. Описана структура $\mathcal A_\lambda^2\left(D_n\right)$. А саме, простір $\mathcal A_\lambda^2\left(D_n\right)$ можна розглядати (з точністю до ізометричного ізоморфізму $R$) у вигляді прямого інтегралу \begin{equation*} \int\limits_{\mathbb R_+}^\oplus F_{2\xi}^2\left(\mathbb C^{n-1}\right)\,d\xi \end{equation*} простору Фока $F_{2\xi}^2\left(\mathbb C^{n-1}\right)$, який скадається з аналітичних функцій простору $L_2\left(\mathbb C^{n-1},d\nu_\alpha\right)$ $(\alpha=2\xi)$, де $d\nu_\alpha\left(z'\right)=\left(\frac\alpha\pi\right)^{n-1} {\rm e}^{-\alpha\left|z'\right|^2}\,d\nu\left(z'\right)$, $\alpha\in\mathbb R_+$, $z'\in\mathbb C^{n-1}$. Використовуючи оператор $R$, доведено, що кожний теплицевий оператор $T_a$ із спеціальним обмеженим символом $a(z)=a\left({\rm Im}\,z_n-\left|z'\right|^2\right)$, який діє у просторі $\mathcal A_\lambda^2\left(D_n\right)$, унітарно еквівалентний прямому інтегралу від оператора множення $\gamma_a(\xi)I$, що діє в просторі Фока $F_{2\xi}^2\left(\mathbb C^{n-1}\right)$, $\xi\in\mathbb R_+$. Функція $\gamma_a(\xi)$ означається за формулою \begin{equation*} \gamma_a(\xi)=\frac{(2\xi)^{\lambda+1}}{\Gamma(\lambda+1)}\int\limits_{\mathbb R_+}a(v){\rm e}^{-2\xi v}v^\lambda\,dv. \end{equation*} Звідси випливає, що $C^*$-алгебра, яка породжена такими теплицевими операторами, комутативна. Показано, що $C^*$-алгебра, яка породжена теплицевими операторами $T_a$ і $T_b$, де \begin{equation*} a=a\left({\rm Im}\, z_n-\left|z'\right|^2\right)\in L_\infty\left(\mathbb R_+\right), \quad b=b\left(z'\right)\in L_\infty\left(\mathbb C^{n-1}\right), \end{equation*} комутативна тоді і лише тоді, коли для кожного $\xi\in\mathbb R_+$ алгебра, яка породжена теплицевими операторами $T_b^{2\xi}$, що діють у просторі $F_{2\xi}^2\left(\mathbb C^{n-1}\right)$, комутативна.