DOI: https://doi.org/10.18524/2519-206x.2018.2(32).149705

Метод двобічних наближень і метод прямих розв’язання задач для одновимірного напівлінійного рівняння теплопровідності

М. В. Сидоров

Анотація


Розглянуто першу початково-крайову задачу для одновимірного напівлінійного рівняння теплопровідності. На основі модифікованого методу Роте на кожному часовому шарі вихідна нестаціонарна задача замінена нелінійною крайовою задачею для звичайного диференціального рівняння. Методом функцій Гріна від цієї задачі виконано перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке далі розглянуто як нелінійне операторне рівняння з гетеротонним оператором у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Для знаходження додатного розв’язку інтегрального рівняння (а отже, і узагальненого розв’язку відповідної крайової задачі) на кожному часовому шарі побудовано метод послідовних наближень з двобічним характером збіжності. Отже, у роботі для першої початково-крайової задачі для одновимірного напівлінійного рівняння теплопровідності зі змінним коефіцієнтом теплопровідності вперше побудовано напівдискретний метод її розв’язання, який базується на сумісному використанні модифікованого методу прямих Роте та методу двобічних наближень. Обчислювальний експеримент проведено для задачі з експоненціальним коефіцієнтом теплопровідності, гетеротонною степеневою нелінійністю і параболічним початковим розподілом температури.

Ключові слова


напівлінійне рівняння теплопровідності; додатний розв’язок; двобічні наближення

Повний текст:

PDF

Посилання


Voronenko M. D., Sidorov M. V. (2018) Constructive investigation of nonlinear boundary value problems for ordinary differential equations. [in Russian] // Radioelektronica i informatika, Vol. 1 (80). – P. 48–54.

Zel’dovich Ya. B., Raizer Yu. P. (1966) Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena [in Russian], Nauka, Moscow.

Kolosov A. I., Kolosova S. V., Sidorov M. V. (2012) Constructive research of boundary value problems for nonlinear differential equations. [in Russian] // Visnyk of Zaporizhzhya National University. Physical and mathematical Sciences, Vol. 2. – P. 50–57.

Kolosova S. V., Lukhanin V. S., Sidorov M. V. (2015) On the construction of two-sided approximations to the positive solution of the Lane-Emden equation. [in Russian] // Visnyk of Zaporizhzhya National University. Physical and mathematical Sciences, Vol. 3. – P. 107–120.

Krasnosel’skij M. A. (1962) Positive Solutions of Operator Equations [in Russian], Fizmatgiz, Moscow.

Ladyzenskaya O. A. (1958) Solution of the first boundary problem in the large for quasilinear parabolic equations. [in Russian] // Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshestva, Vol. 7. – P. 149–177.

Lytvyn O. M. (2002) Interlineation of Functions and some its Applications [in Ukrainian], Osnova, Kharkiv.

Maslov V. P., Danilov V. G., Volosov K. A. (1987) Mathematical Modeling of Heat and Mass Transfer Processes. Evolution of Dissipative Structures [in Russian], Nauka, Moscow.

Opojtsev V. I., Khurodze T. A. (1984) Nonlinear Operators in Spaces with a Cone [in Russian], Izdatel’stvo Tbilisskogo Universiteta, Tbilisi.

Samarskii A. A., Galaktionov V. A., Kurdyumov S. P., Mikhailov A. P. (1987) Regimes with Peaking in Problems for Quasilinear Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow.

Samarskii A. A., Gulin A. V. (2003) Numerical Methods of Mathematical Physics [in Russian], Nauchnyj mir, Moscow.

Sidorov M. V. (2017) Construction two-sided iterative processes for solving nonlinear boundary value problems using methods of Green’s functions and the quasi-functions of Green-Rvachev. [in Ukrainian] // Visnyk of Zaporizhzhya National University. Physical and mathematical Sciences, Vol. 2. – P. 250–259.

Frank-Kamenetskii D. A. (2008) Diffusion and Heat Transfer in Chemical Kinetics [in Russian], Intellekt, Moscow.

Shuvar B. A., Kopach M. І., Mentins'kij S. M., Obshta A. F. (2007) Two-sided Approximates Methods [in Ukrainian], VDV CІT, Іvano-Frankovs'k.

Amann H. (1976) Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces // SIAM Review, Vol. 18 (4). – P. 620–709.

Bartosz K., Sofonea M. (2016) The Rothe method for variational-hemivariational inequalities with applications to contact mechanics // SIAM Journal on Mathematical Analysis, Vol. 48 (2). – P. 861–883.

Chaoui A., Hallaci A. (2018) On the solution of a fractional diffusion integrodifferential equation with Rothe time discretization // Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol. 39 (6). – P. 643–654.

Guo D., Lakshmikantham V. (1987) Coupled fixed points of nonlinear operators with applications // Nonlinear Anal., Vol. 11 (5). – P. 623–632.

Nochetto R., Sauter S., Wieners C. (2017) Space-time methods for time-dependent partial differential equations // Oberwolfach Rep., Vol. 14. – P. 863–947.

Pao C. V. (1992) Nonlinear parabolic and elliptic equations // New York: Plenum Press. – 794 p.

Rothe E. (1930) Zweidimensionale parabolische randwertaufgaben als grenzfall eindimensionaler randwertaufgaben // Math. Ann., Vol. 102 (1). – P. 650–670.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


Вороненко М. Д. Конструктивне дослідження нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь / М.Д. Вороненко, М.В. Сидоров // Радиоэлектрон. и инф. - 2018. - № 1 (80). - С. 48-54.

Зельдович Я. Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - 2-е изд., доп. / Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. - М.: Наука, 1966. - 686 с.

Колосов А. И. Конструктивное исследование краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений / А. И. Колосов, С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Вісн. Запоріз. нац. універ. Сер.: фіз.-мат. н. - 2012. - № 2. - С. 50-57.

Колосова С. В. О построении двусторонних приближений к положительному решению уравнения Лане-Эмдена / С. В. Колосова, В. С. Луханин, М. В. Сидоров // Вісн. Запо-різ. нац. універ. Сер.: фіз.-мат. н. - 2015. - № 3. - С. 107-120.

Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. - М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.

Ладыженская О. А. Решение первой краевой задачи в целом для квазилинейных параболических уравнений / О. А. Ладыженская. - Тр. ММО, т. 7. - 1958. - С. 149-177.

Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. - Харків: Основа, 2002. - 544 с.

Маслов В. П. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур / В. П. Маслов, В. Г. Данилов, К. А. Волосов. - М.: Наука, 1987. - 352 с.

Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опойцев, Т. А. Хуродзе. - Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. - 246 с.

Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. - М.: Наука, 1987. - 478 с.

Самарский А. А. Численные методы математической физики. - 2-е изд. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. - М.: Научный мир, 2003. - 316 с.

Сидоров М. В. Застосування методів функцій Гріна та квазіфункцій Гріна-Рвачова для побудови двобічних ітераційних процесів розв’язання нелінійних крайових задач / М. В. Сидоров // Вісн. Запоріз. нац. універ. Сер.: фіз.-мат. н. - 2017. - № 2. - С. 250-259.

Франк-Каменецкий Д. А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Д. А. Франк-Каменецкий. - М.: Интеллект, 2008. - 408 с.

Шувар Б. А. Двосторонні наближені методи / Б. А. Шувар, М. І. Копач, С. М. Ментинський, А. Ф. Обшта. - Івано-Франковськ: ВДВ ЦІТ, 2007. - 515 с.

Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces / H. Amann // SIAM Review. - 1976. - Vol. 18. - № 4. – P. 620-709.

Bartosz K. The Rothe method for variational-hemivariational inequalities with applications to contact mechanics / K. Bartosz, M. Sofonea // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 2016. - Vol. 48. - № 2. – P. 861-883.

Chaoui A. On the solution of a fractional diffusion integrodifferential equation with Rothe time discretization / A. Chaoui, A. Hallaci // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 2018. - Vol. 39. - № 6. - P. 643-654.

Guo D. Coupled fixed points of nonlinear operators with applications / D. Guo, V. Lakshmikantham // Nonlinear Anal. - 1987. - Vol. 11. - № 5. - P. 623-632.

Nochetto R. Space-time methods for time-dependent partial differential equations / R. Nochetto, S. Sauter, C. Wieners // Oberwolfach Rep. - 2017. - Vol. 14. – P. 863-947.

Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations / C. V. Pao. - New York: Plenum Press, 1992. - 794 p.

Rothe E. Zweidimensionale parabolische randwertaufgaben als grenzfall eindimensionaler randwertaufgaben // Math. Ann. - 1930. - Vol. 102. - № 1. - P. 650-670.




ISSN: 2519-206X (Print)

DOI: 10.18524/2519-206X