DOI: https://doi.org/10.18524/2519-206x.2017.2(30).135739

Асимптотика одного класу розв'язків звичайних диференціальних рівнянь $n$-го порядку з правильно змінними нелінійностями

Е. С. Корепанова

Анотація


В роботі для двочленного неавтономного звичайного диференціального рівняння $n$-го порядку з правильно змінними нелінійностями встановлюються ознаки існування розв'язків, для яких існує $k \in \ 3,\ldots, n\ $ таке, що $(n-k)$-а похідна розв'язку прямує до відмінної від нуля сталої при прямуванні аргументу до $+\infty$, а також асимптотичні зображення їх похідних до порядку $n-1$ включно. При досідженні даного питання виникають проблеми з встановленням асимптотики $(n-k+1)$--ї та наступних похідних розв'язку. У зв'язку з цим вводиться клас, так званих, $\mathcal P _ +\infty ^k(\lambda_0)$--розв'язків, де $-\infty\leq\lambda_0\leq+\infty$, та досліджується питання про наявність та асимптотику $\mathcal P _ +\infty ^k(\lambda_0)$--розв'язків в особливих випадках, коли $\lambda_0=\frac n-j-1 n-j $, $j=\overline n-k+2,n-1 $. Усі інші неособливі випадки були досліджені у попередніх роботах автора. Отримані результати суттєво доповнюють дослідження про існування розв'язків такого вигляду в монографії І. Т. Кігурадзе та Т. А. Чантурія для рівнянь загального вигляду та диференціальних рівнянь типу Емдена-Фаулера, в яких забезпечується достатньо жорстке обмеження на $(n-k+1)$--у похідну розв'язку.

Ключові слова


нелінійні диференціальні рівняння; вищий порядок; правильно змінні нелінійності; клас $\mathcal{P}_{+\infty}^k(\lambda_0)$--розв'язків; умови існування; асимптотика розв'язків

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Burbaki, N. (1965). Funktsii deystvitelnogo peremennogo [Functions of real variables]. Moscow: Nauka, 424 p.

Evtukhov, V. М. (1998). Asymptoticheskie predstavleniya resheniy neavtonomnykh obyknovennykh differentsialnyh uravneniy [Asymptotic representations of solutions of non-autonomous differential equations]. Kiev: Diss. dokt. phys-mat. nauk: 01.01.02, 295 p.

Evtukhov, V. М., Klopot, А. М. (2014). Asimptoticheskoe povedenie resheniy obyknovennykh differentsialnykh uravneniy n-go poryadka s pravilno menyayuschimisya nelineynostyami [The asymptotic behaviour of solutions of n-th order ordinary differential equations with regularly varying nonlinearities.] Diff. uravneniya, Vol. 50, №5. – P. 584–600.

Evtukhov, V. M., Korepanova, K. S. (2017). Asimptoticheskie predstavleniya resheniy differentsialnykh uravneniy s pravilno menyayuschimisya nelineynostyami [Asymptotic representations of solutions of differential equations with regularly varying nonlinearities.] Ukr. mat. zhurn., Vol. 69, № 9. – P. 1198–1216.

Evtukhov, V. М., Samoylenko, А. М. (2010). Usloviya suschestvovaniya ischezayuschikh v osoboy tochke resheniy u veschestvennykh neavtonomnykh sistem kvazilineynykh differentsialnykh uravneniy [Existence conditions of solutions vanishing at the critical point of real nonautonomous system of quasi-linear differential equations.] Ukr. mat. zh., Vol. 62, №1. – P. 52–80.

Evtukhov, V. М., Samoylenko, А. М. (2011). Asimptoticheskoe predstavlenie resheniy neavtonomnykh obyknovennykh differentsialnykh uravneniy s pravilno menyayuschimisya nelineynostyami [The asymptotic representation of solutions of nonautonomous ordinary differential equations with regularly varying nonlinearities.] Diff. uravneniya, Vol. 47, №5. – P. 628–650.

Kiguradze, I. Т., Chanturiya, Т. А. (1990). Asimptoticheskie svoystva resheniy neavtonomnykh obyknovennykh differentsialnykh uravneniy [Asymptotic properties of solutions of ordinary dufferential equations] Moscow: Nauka, 430 p.

Korepanova, K. S. (2016). Umovy isnuvannya rozvjazkiv stepenevogo vydu u dyfferentsialnykh rivnyan z pravylno zminnymy neliniynostyamy [Existence conditions of power-mode solutions of differential equations with regularly varying nonlinearities]. Bukov. mat. zh., Vol. 4, № 3–4. – P. 75–79.

Seneta, Е. (1985). Pravilno menyayuschiesya funktsii [Properly varying functions] Moscow: Nauka, 144 p.

Evtukhov, V. M., Korepanova, K. S. (2017). Asymptotic Behaviour of Solutions of One Class of n-th Order Differential Equations. Memoirs on Diff. Eq. and Math. Phys., Vol. 71. – P. 111–124.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


Бурбаки Н. Функции действительного переменного / Н. Бурбаки. – М.: Наука, 1965. – 424 c.

Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений / В. М. Евтухов // Дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 – Киев. – 1998. – 295 с.

Евтухов В. М., Клопот А. М. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями / В. М. Евтухов, А. М. Клопот // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, №5. – С. 584–600.

Евтухов В. М., Корепанова Е. С. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями / В. М. Евтухов, Е. С. Корепанова // Укр. мат. журн. – 2017. – Т.69, №9. – С. 1198–1216.

Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений у вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений. / В. М. Евтухов, А. М. Самойленко // Укр. мат. ж. – 2010. – Т. 62, №1. – С. 52–80.

Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотическое представление решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями / В. М. Евтухов, А. М. Самойленко // Дифференц. уравнения – 2011. – Т. 47, №5. – С. 628–650.

Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия. – М.:Наука. – 1990. – 430 с.

Корепанова К. С. Умови iснування розв’язкiв степеневого виду у диференцiальних рiвнянь з правильно змiнними нелiнiйностями / К. С. Корепанова // Буковинський мат. ж. – 2016. – Т. 4, №3–4. – С. 75–79.

Сенета Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета – М.:Наука. – 1985. – 144 с.

Evtukhov V. M., Korepanova K. S. Asymptotic Behaviour of Solutions of One Class of n-th Order Differential Equations / V. M. Evtukhov, K. S. Korepanova // Memoirs on Diff. Eq. and Math. Phys. – 2017. – V.71. – P. 111–124.





ISSN: 2519-206X (Print)

DOI: 10.18524/2519-206X