Асимптотика одного класу розв'язків звичайних диференціальних рівнянь $n$-го порядку з правильно змінними нелінійностями
DOI:
https://doi.org/10.18524/2519-206x.2017.2(30).135739Ключові слова:
нелінійні диференціальні рівняння, вищий порядок, правильно змінні нелінійності, клас $\mathcal{P}_{ \infty}^k(\lambda_0)$--розв'язків, умови існування, асимптотика розв'язківАнотація
В роботі для двочленного неавтономного звичайного диференціального рівняння $n$-го порядку з правильно змінними нелінійностями встановлюються ознаки існування розв'язків, для яких існує $k \in \ 3,\ldots, n\ $ таке, що $(n-k)$-а похідна розв'язку прямує до відмінної від нуля сталої при прямуванні аргументу до $+\infty$, а також асимптотичні зображення їх похідних до порядку $n-1$ включно. При досідженні даного питання виникають проблеми з встановленням асимптотики $(n-k+1)$--ї та наступних похідних розв'язку. У зв'язку з цим вводиться клас, так званих, $\mathcal P _ +\infty ^k(\lambda_0)$--розв'язків, де $-\infty\leq\lambda_0\leq+\infty$, та досліджується питання про наявність та асимптотику $\mathcal P _ +\infty ^k(\lambda_0)$--розв'язків в особливих випадках, коли $\lambda_0=\frac n-j-1 n-j $, $j=\overline n-k+2,n-1 $. Усі інші неособливі випадки були досліджені у попередніх роботах автора. Отримані результати суттєво доповнюють дослідження про існування розв'язків такого вигляду в монографії І. Т. Кігурадзе та Т. А. Чантурія для рівнянь загального вигляду та диференціальних рівнянь типу Емдена-Фаулера, в яких забезпечується достатньо жорстке обмеження на $(n-k+1)$--у похідну розв'язку.Посилання
Burbaki, N. (1965). Funktsii deystvitelnogo peremennogo [Functions of real variables]. Moscow: Nauka, 424 p.
Evtukhov, V. М. (1998). Asymptoticheskie predstavleniya resheniy neavtonomnykh obyknovennykh differentsialnyh uravneniy [Asymptotic representations of solutions of non-autonomous differential equations]. Kiev: Diss. dokt. phys-mat. nauk: 01.01.02, 295 p.
Evtukhov, V. М., Klopot, А. М. (2014). Asimptoticheskoe povedenie resheniy obyknovennykh differentsialnykh uravneniy n-go poryadka s pravilno menyayuschimisya nelineynostyami [The asymptotic behaviour of solutions of n-th order ordinary differential equations with regularly varying nonlinearities.] Diff. uravneniya, Vol. 50, №5. – P. 584–600.
Evtukhov, V. M., Korepanova, K. S. (2017). Asimptoticheskie predstavleniya resheniy differentsialnykh uravneniy s pravilno menyayuschimisya nelineynostyami [Asymptotic representations of solutions of differential equations with regularly varying nonlinearities.] Ukr. mat. zhurn., Vol. 69, № 9. – P. 1198–1216.
Evtukhov, V. М., Samoylenko, А. М. (2010). Usloviya suschestvovaniya ischezayuschikh v osoboy tochke resheniy u veschestvennykh neavtonomnykh sistem kvazilineynykh differentsialnykh uravneniy [Existence conditions of solutions vanishing at the critical point of real nonautonomous system of quasi-linear differential equations.] Ukr. mat. zh., Vol. 62, №1. – P. 52–80.
Evtukhov, V. М., Samoylenko, А. М. (2011). Asimptoticheskoe predstavlenie resheniy neavtonomnykh obyknovennykh differentsialnykh uravneniy s pravilno menyayuschimisya nelineynostyami [The asymptotic representation of solutions of nonautonomous ordinary differential equations with regularly varying nonlinearities.] Diff. uravneniya, Vol. 47, №5. – P. 628–650.
Kiguradze, I. Т., Chanturiya, Т. А. (1990). Asimptoticheskie svoystva resheniy neavtonomnykh obyknovennykh differentsialnykh uravneniy [Asymptotic properties of solutions of ordinary dufferential equations] Moscow: Nauka, 430 p.
Korepanova, K. S. (2016). Umovy isnuvannya rozvjazkiv stepenevogo vydu u dyfferentsialnykh rivnyan z pravylno zminnymy neliniynostyamy [Existence conditions of power-mode solutions of differential equations with regularly varying nonlinearities]. Bukov. mat. zh., Vol. 4, № 3–4. – P. 75–79.
Seneta, Е. (1985). Pravilno menyayuschiesya funktsii [Properly varying functions] Moscow: Nauka, 144 p.
Evtukhov, V. M., Korepanova, K. S. (2017). Asymptotic Behaviour of Solutions of One Class of n-th Order Differential Equations. Memoirs on Diff. Eq. and Math. Phys., Vol. 71. – P. 111–124.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2020 Дослідження в математиці і механіці
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) роботи, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
