DOI: https://doi.org/10.18524/2519-206x.2017.1(29).135730

Оцінки норм похідних за Ріссом функцій багатьох змінних

Н. В. Парфінович

Анотація


Нехай $\Delta =\frac \partial^2 \partial x_1 +...+\frac \partial^2 \partial x_m $ -- оператор Лапласа. Позначимо через $L_s(\RR^m)$ ($1\leqslant s\leqslant \infty$) простори вимірних функцій $f: \RR^m\to \RR$ зі скінченною нормою $\|f\|_s$. Нехай $F$ і $E$ -- ідеальні решітки на $\RR^m$ зі скінченними нормами $\|\cdot\|_F$ і $\|\cdot\|_E$. Через $L^\Delta_ F,E (\RR^m)$ позначимо простір функцій $f\in F$ таких, що $\Delta f\in E$. Якщо $F=L_s(\RR^m)$ ($1\leqslant s\leqslant \infty$), то будемо використовувати позначення $L^\Delta_ s,E $, або $L^\Delta_ s,s $, якщо, крім цього, $E=L_s(\RR^m)$. В роботі отримано нові нерівності типу Колмогорова для норм похідних за Ріссом $D^\alpha f$ функцій $f\in L^\Delta_ \infty, E (\RR^m)$. Як наслідок, отримані такі нерівності для функцій $f\in L^\Delta_ s,s (\RR^m)$. Розв'язано задачу про наближення необмеженого оператора $D^\alpha$ обмеженими на класі функцій $f$ таких, що $\|\Delta f\|_E\leqslant 1$.

Ключові слова


дробова похідна; нерівності для похідних; наближення необмежених операторів обмеженими; ідеальні решітки

Повний текст:

PDF

Посилання


Kolmogorov, A. N. (1985). O neravenstvah mezhdu verhnimi granyami posledovatel’nyh proizvodnyh funkcii na beskonechnom intervale [On inequalities between the upper bounds of the successive derivatives of a function on an infinite interval]. Izbr. tr.: Matematika, mekhanika. M.: Nauka., Vol. 52, P. 252–263.

Tikhomirov, V. M., Magaril-Il’yaev, G. G. (1985). Neravenstva dlya proizvodnyh: Kommentarii k izbrannym trudam A. N. Kolmogorova [Inequalities for derivatives: Comments on selected works of A. N. Kolmogorov]. M. : Nauka, P. 387–390.

Arestov, V. V., Gabushin, V. N. (1995). Nailuchsheye priblizheniye neogranichennykh operatorov ogranichennymi [Best approximation of unbounded operators by bounded ones]. Izv. vuzov. Matematika, № 11, P. 42–63.

Arestov, V. V.(1996). Priblizheniye neogranichennykh operatorov ogranichennymi i rodstvennyye ekstremal’nyye zadachi [Approximation of unbounded operators by bounded ones and related extremal problems]. Успехи мат. наук, V. 51, № 6, P. 88–124.

Babenko, V. F., Korneychuk, N. P., Kofanov, V. A., Pichugov, S. A. (2003). Neravenstva dlya proizvodnykh i ikh prilozheniya [Inequalities for derivatives and their applications]. Kiyev : Nauk. dumka, 590 p.

Mitrinovi´c, D. S., Pecari´c, J. E., Fink, A. M. (1991). Inequalities involving functions and their integrals and derivatives. Dordrecht; Boston; London: Kluver Acad. Publ, 1991. — 587 p.

Konovalov, V. N. (1978). Tochnyye neravenstva dlya norm funktsiy, tret’ikh chastnykh i vtorykh smeshannykh proizvodnykh [Exact inequalities for norms of functions, third partial and second mixed derivatives]. Mat. zametki, V. 23, №. 1, P. 67–78.

Buslayev, A. P., Tikhomirov, V. M. (1979). O neravenstvah dlya proizvodnykh v mnogomernom sluchaye [On inequalities for derivatives in the multidimensional case]. Mat. zametki, V. 25, № 1, P. 59–74.

Timoshin, O. A. (1995). Tochnyye neravenstva mezhdu normami proizvodnykh vtorogo i tret’yego poryadkov [Exact inequalities between the norms of the derivatives of second and third orders] Dokl. RAN, V. 344, № 1, P. 20–22.

Timofeyev, V. G. (1985). Neravenstva tipa Landau dlya funktsiy neskol’kikh peremennykh [Landau type inequalities for functions of several variables]. Mat. zametki, V 37, № 5, P. 676–689.

Babenko, V. F., Kofanov, V. A., Pichugov, S. A. (1997). Multivariate inequalities of Kolmogorov type and their applications. Multivariate approximation and splines / Eds. G. N¨erberger, J.W. Schmidt, G. Walz. Basel: Birkhuser Verlag, P. 1–12.

Babenko, V. F. (2000). O tochnykh neravenstvakh tipa Kolmogorova dlya funktsiy dvukh peremennykh [On exact inequalities of Kolmogorov type for functions of two variables]. Dokl. NAN Ukrainy, № 5, P. 7–11.

Geysberg, S. P. (1965). Obobshcheniye neravenstva Adamara [A generalization of the Hadamard inequality]. Issledovaniye po nekotorym problemam konstruktivnoy teorii funktsiy: sb. nauch. tr. LOMI, Leningrad, V 50, P. 42–54.

Arestov, V. V. (1979). Inequalities for fractional derivatives on the halfline.Approximation theory: proc. conf. Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ, P. 19–34.

Magaril-Il’jaev G. G., Tihomirov, V. M. (1981). On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line. Anal. Math, V. 7, № 1, P. 37–47.

Babenko, V. F., Pichugov, S. A. (2010). Tochnyye otsenki dlya norm drobnykh proizvodnykh funktsiy mnogikh peremennykh, udovletvoryayushchikh usloviyu Gel’dera [Exact estimates for the norms of fractional derivatives of functions of several variables that satisfy the Holder condition]. Mat. zametki, V. 87, № 1, P. 26–34.

Babenko, V. F., Churilova, M. S. (2001). O neravenstvakh tipa Kolmogorova dlya proizvodnykh drobnogo poryadka [On the Kolmogorov type inequalities for derivatives of fractional order]. Visn. Dnipropetrovs’kogo un-tu. Matematyka, V. 6, P. 16–20.

Babenko, V. F., Churilova, M. S. (2007). Kolmogorov type inequalities for hypersingular integrals with homogeneous characteristic. Banach J. Math, V. 1, P. 66–77.

Babenko, V. F., Parfinovych, N. V., Pichugov, S. A. (2010). Sharp Kolmogorov-type inequalities for norms of fractional derivatives of multivariate functions. Ukr. mat. zhurn, V. 62, № 3, P. 301–314.

Babenko, V. F., Parfinovich, N. V. (2011). Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodnykh Rissa funktsiy mnogikh peremennykh i nekotoryye ikh prilozheniya [Kolmogorov type inequalities for the norms of Riesz derivatives of functions of several variables and some of their applications]. Trudy Uro RAN, V. 17, № 3, P. 60–70.

Babenko, V. F., Parfinovich, N. V., Pichugov, S. O. (2014). Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodnykh Rissa funktsiy mnogikh peremennykh s ogranichennym v Loo laplasianom i smezhnyye zadachi [Kolmogorov type inequalities for the norms of Riesz derivatives of functions of several variables with bounded in Loo Laplacian and related problems]. Mat. zametki, V. 95, №. 1, P. 3–17.

Babenko V. F., Parfinovich, N. V. (2012). Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodnykh Rissa funktsiy mnogikh peremennykh i nekotoryye ikh prilozheniya[Kolmogorov type inequalities for the norms of Riesz derivatives of functions of several variables and some of their applications] Ukr. mat. visn, V. 9, № 2, P. 157–174.

Motornyy, V. P., Babenko, V. F, Dovgoshey, A. A., Kuznetsova, O. I. (2010). Teoriya approksimatsii i garmonicheskiy analiz [Approximation theory and harmonic analysis]. Kiyev : Nauk. dumka, 302 p.

Samko, S. G., Kilbas, A. A., Marichev, O. I. (1987). Integraly i proizvodnye drobnoho poryadka i nekotorye ih prilozheniya [Fractional integrals and derivatives with some applications]. Minsk: Nauka i tekhnika, 688 p.

Kreyn, S. G., Petunin, YU. I, Semenov, Ye. M. (1978). Interpolyatsiya lineynykh operatorov [Interpolation of linear operators]. M., Nauka, 400 p.

Krasnosel’skiy M. A., Rutitskiy YA. B. (1958). Vypuklyye funktsii i prostranstva Orlicha [Convex functions and Orlicz spaces]. M., Fizmatgiz, 271 p.

Stechkin, S. B. (1967). Nailuchsheye priblizheniye ogranichennykh operatorov [the best approximation of bounded operators]. Mat. zametki, V. 1, №. 2, P 137–148.

Kurant, R. (1964). Uravneniya s chastnymi proizvodnymi[Partial differential equations]. M.: Mir, 843 p.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале / А. Н. Колмогоров // Избр. тр.: Математика, механика. М.: Наука. – 1985. –C. 252–263.

Тихомиров В. М. Неравенства для производных: Комментарии к избранным трудам А. Н. Колмогорова / В. М. Тихомиров, Г. Г. Магарил-Ильяев // М. : Наука, 1985. – С. 387–390.

Арестов В. В. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными / В. В. Арестов, В. Н. Габушин // Изв. вузов. Математика. – 1995. – № 11. – C. 42–63.

Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи / В. В. Арестов // Успехи мат. наук. – 1996. – Т. 51, № 6. – С. 88–124.

Бабенко В. Ф. Неравенства для производных и их приложения / В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов. – Киев : Наук. думка, 2003. — 590 c.

Mitrinovi´c D. S. Inequalities involving functions and their integrals and derivatives / D. S. Mitrinovi´c, J. E. Pecari´c, A. M. Fink. – Dordrecht; Boston; London: Kluver Acad. Publ, 1991. — 587 p.

Коновалов В. Н. Точные неравенства для норм функций, третьих частных и вторых смешанных производных / В. Н. Коновалов // Мат. заметки. –1978. – Т. 23, вып. 1. – C. 67–78.

Буслаев А. П. О неравенствах для производных в многомерном случае / А. П. Буслаев, В. М. Тихомиров // Мат. заметки. – 1979. – Т. 25, вып. 1. – C. 59–74.

Тимошин О. А. Точные неравенства между нормами производных второго и третьего порядков / О. А. Тимошин // Докл. РАН. – 1995. – Т. 344, № 1. – C. 20–22.

Тимофеев В. Г. Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных / В. Г. Тимофеев // Мат. заметки. – 1985. – Т. 37, вып. 5. – C. 676–689.

Babenko V. F. Multivariate inequalities of Kolmogorov type and their applications / V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov // Multivariate approximation and splines / Eds. G. N¨erberger, J.W. Schmidt, G. Walz. Basel: Birkhuser Verlag. – 1997. – P. 1–12.

Бабенко В. Ф. О точных неравенствах типа Колмогорова для функций двух переменных / В. Ф. Бабенко // Докл. НАН Украины. – 2000. – № 5. – C. 7–11.

Гейсберг С. П. Обобщение неравенства Адамара / С. П. Гейсберг // Исследование по некоторым проблемам конструктивной теории функций: сб. науч. тр. ЛОМИ, Ленинград. – 1965. – Т. 50. – C. 42–54.

Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line / V. V. Arestov // Approximation theory: proc. conf. Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ. – 1979. – P. 19–34.

Magaril-Il’jaev G. G. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line / G. G. Magaril-Il’jaev, V. M. Tihomirov // Anal. Math. – 1981. – Vol. 7, № 1. – P. 37–47.

Бабенко В. Ф. Точные оценки для норм дробных производных функций многих переменных, удовлетворяющих условию Гельдера / В. Ф. Бабенко, С. А. Пичугов // Мат. заметки. – 2010. – Т. 87, вып. 1. – С. 26–34.

Бабенко В. Ф. О неравенствах типа Колмогорова для производных дробного порядка / В. Ф.Бабенко, М. С. Чурилова // Вiсн. Днiпропетровського ун-ту. Математика. – 2001. – Т. 6. – С. 16–20.

Babenko V. F. Kolmogorov type inequalities for hypersingular integrals with homogeneous characteristic / V. F. Babenko, M. S. Churilova // Banach J. Math. – 2007. – Vol. 1. – P. 66–77.

Babenko V. F. Sharp Kolmogorov-type inequalities for norms of fractional derivatives of multivariate functions / V. F. Babenko, N. V. Parfinovych, S. A. Pichugov // Укр. мат. журн. – 2010. – Т. 62, № 3. – С. 301–314.

Бабенко В. Ф. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных и некоторые их приложения/ В. Ф. Бабенко, Н. В. Парфинович // Труды УроРАН. – 2011. – Т. 17, № 3 – C. 60–70.

Бабенко В. Ф. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных c ограниченным в Loo лапласианом и смежные задачи/ В. Ф. Бабенко, Н. В. Парфинович, С. А. Пичугов// Мат. заметки. – 2014. – Т. 95, вып. 1. – С. 3–17.

Бабенко В. Ф. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных и некоторые их приложения/ В. Ф. Бабенко, Н. В. Парфинович // Укр. мат. вiсн. – 2012. – Т. 9, № 2 – C. 157–174.

Моторный В. П. Теория аппроксимации и гармонический анализ /В. П. Моторный, В. Ф. Бабенко, А. А. Довгошей, О. И. Кузнецова. – Киев : Наук. думка, 2010. – 302 c.

Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко , А. А. Килбас , О. И. Маричев. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 c.

Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов/ С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов. – М., Наука, 1978. – 400 с.

Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича/ М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. – М., Физматгиз, 1958. – 271 с.

Стечкин С. Б. Наилучшее приближение ограниченных операторов /С. Б. Стечкин // Мат. заметки. —1967. — Т. 1, вып. 2. — С. 137–148.

Курант Р. Уравнения с частными прооизводными / Р. Курант. – М.: Мир, 1964. – 843 c.





ISSN: 2519-206X (Print)

DOI: 10.18524/2519-206X