Оцінки норм похідних за Ріссом функцій багатьох змінних

Анотація

Нехай $\Delta =\frac \partial^2 \partial x_1 +...+\frac \partial^2 \partial x_m $ -- оператор Лапласа. Позначимо через $L_s(\RR^m)$ ($1\leqslant s\leqslant \infty$) простори вимірних функцій $f: \RR^m\to \RR$ зі скінченною нормою $\|f\|_s$. Нехай $F$ і $E$ -- ідеальні решітки на $\RR^m$ зі скінченними нормами $\|\cdot\|_F$ і $\|\cdot\|_E$. Через $L^\Delta_ F,E (\RR^m)$ позначимо простір функцій $f\in F$ таких, що $\Delta f\in E$. Якщо $F=L_s(\RR^m)$ ($1\leqslant s\leqslant \infty$), то будемо використовувати позначення $L^\Delta_ s,E $, або $L^\Delta_ s,s $, якщо, крім цього, $E=L_s(\RR^m)$. В роботі отримано нові нерівності типу Колмогорова для норм похідних за Ріссом $D^\alpha f$ функцій $f\in L^\Delta_ \infty, E (\RR^m)$. Як наслідок, отримані такі нерівності для функцій $f\in L^\Delta_ s,s (\RR^m)$. Розв'язано задачу про наближення необмеженого оператора $D^\alpha$ обмеженими на класі функцій $f$ таких, що $\|\Delta f\|_E\leqslant 1$.