Оцінки норм похідних за Ріссом функцій багатьох змінних

Автор(и)

  • Н. В. Парфінович Днiпропетровський нацiональный унiверситет iм. Олеся Гончара

DOI:

https://doi.org/10.18524/2519-206x.2017.1(29).135730

Ключові слова:

дробова похідна, нерівності для похідних, наближення необмежених операторів обмеженими, ідеальні решітки

Анотація

Нехай $\Delta =\frac \partial^2 \partial x_1 +...+\frac \partial^2 \partial x_m $ -- оператор Лапласа. Позначимо через $L_s(\RR^m)$ ($1\leqslant s\leqslant \infty$) простори вимірних функцій $f: \RR^m\to \RR$ зі скінченною нормою $\|f\|_s$. Нехай $F$ і $E$ -- ідеальні решітки на $\RR^m$ зі скінченними нормами $\|\cdot\|_F$ і $\|\cdot\|_E$. Через $L^\Delta_ F,E (\RR^m)$ позначимо простір функцій $f\in F$ таких, що $\Delta f\in E$. Якщо $F=L_s(\RR^m)$ ($1\leqslant s\leqslant \infty$), то будемо використовувати позначення $L^\Delta_ s,E $, або $L^\Delta_ s,s $, якщо, крім цього, $E=L_s(\RR^m)$. В роботі отримано нові нерівності типу Колмогорова для норм похідних за Ріссом $D^\alpha f$ функцій $f\in L^\Delta_ \infty, E (\RR^m)$. Як наслідок, отримані такі нерівності для функцій $f\in L^\Delta_ s,s (\RR^m)$. Розв'язано задачу про наближення необмеженого оператора $D^\alpha$ обмеженими на класі функцій $f$ таких, що $\|\Delta f\|_E\leqslant 1$.

Посилання

Kolmogorov, A. N. (1985). O neravenstvah mezhdu verhnimi granyami posledovatel’nyh proizvodnyh funkcii na beskonechnom intervale [On inequalities between the upper bounds of the successive derivatives of a function on an infinite interval]. Izbr. tr.: Matematika, mekhanika. M.: Nauka., Vol. 52, P. 252–263.

Tikhomirov, V. M., Magaril-Il’yaev, G. G. (1985). Neravenstva dlya proizvodnyh: Kommentarii k izbrannym trudam A. N. Kolmogorova [Inequalities for derivatives: Comments on selected works of A. N. Kolmogorov]. M. : Nauka, P. 387–390.

Arestov, V. V., Gabushin, V. N. (1995). Nailuchsheye priblizheniye neogranichennykh operatorov ogranichennymi [Best approximation of unbounded operators by bounded ones]. Izv. vuzov. Matematika, № 11, P. 42–63.

Arestov, V. V.(1996). Priblizheniye neogranichennykh operatorov ogranichennymi i rodstvennyye ekstremal’nyye zadachi [Approximation of unbounded operators by bounded ones and related extremal problems]. Успехи мат. наук, V. 51, № 6, P. 88–124.

Babenko, V. F., Korneychuk, N. P., Kofanov, V. A., Pichugov, S. A. (2003). Neravenstva dlya proizvodnykh i ikh prilozheniya [Inequalities for derivatives and their applications]. Kiyev : Nauk. dumka, 590 p.

Mitrinovi´c, D. S., Pecari´c, J. E., Fink, A. M. (1991). Inequalities involving functions and their integrals and derivatives. Dordrecht; Boston; London: Kluver Acad. Publ, 1991. — 587 p.

Konovalov, V. N. (1978). Tochnyye neravenstva dlya norm funktsiy, tret’ikh chastnykh i vtorykh smeshannykh proizvodnykh [Exact inequalities for norms of functions, third partial and second mixed derivatives]. Mat. zametki, V. 23, №. 1, P. 67–78.

Buslayev, A. P., Tikhomirov, V. M. (1979). O neravenstvah dlya proizvodnykh v mnogomernom sluchaye [On inequalities for derivatives in the multidimensional case]. Mat. zametki, V. 25, № 1, P. 59–74.

Timoshin, O. A. (1995). Tochnyye neravenstva mezhdu normami proizvodnykh vtorogo i tret’yego poryadkov [Exact inequalities between the norms of the derivatives of second and third orders] Dokl. RAN, V. 344, № 1, P. 20–22.

Timofeyev, V. G. (1985). Neravenstva tipa Landau dlya funktsiy neskol’kikh peremennykh [Landau type inequalities for functions of several variables]. Mat. zametki, V 37, № 5, P. 676–689.

Babenko, V. F., Kofanov, V. A., Pichugov, S. A. (1997). Multivariate inequalities of Kolmogorov type and their applications. Multivariate approximation and splines / Eds. G. N¨erberger, J.W. Schmidt, G. Walz. Basel: Birkhuser Verlag, P. 1–12.

Babenko, V. F. (2000). O tochnykh neravenstvakh tipa Kolmogorova dlya funktsiy dvukh peremennykh [On exact inequalities of Kolmogorov type for functions of two variables]. Dokl. NAN Ukrainy, № 5, P. 7–11.

Geysberg, S. P. (1965). Obobshcheniye neravenstva Adamara [A generalization of the Hadamard inequality]. Issledovaniye po nekotorym problemam konstruktivnoy teorii funktsiy: sb. nauch. tr. LOMI, Leningrad, V 50, P. 42–54.

Arestov, V. V. (1979). Inequalities for fractional derivatives on the halfline.Approximation theory: proc. conf. Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ, P. 19–34.

Magaril-Il’jaev G. G., Tihomirov, V. M. (1981). On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line. Anal. Math, V. 7, № 1, P. 37–47.

Babenko, V. F., Pichugov, S. A. (2010). Tochnyye otsenki dlya norm drobnykh proizvodnykh funktsiy mnogikh peremennykh, udovletvoryayushchikh usloviyu Gel’dera [Exact estimates for the norms of fractional derivatives of functions of several variables that satisfy the Holder condition]. Mat. zametki, V. 87, № 1, P. 26–34.

Babenko, V. F., Churilova, M. S. (2001). O neravenstvakh tipa Kolmogorova dlya proizvodnykh drobnogo poryadka [On the Kolmogorov type inequalities for derivatives of fractional order]. Visn. Dnipropetrovs’kogo un-tu. Matematyka, V. 6, P. 16–20.

Babenko, V. F., Churilova, M. S. (2007). Kolmogorov type inequalities for hypersingular integrals with homogeneous characteristic. Banach J. Math, V. 1, P. 66–77.

Babenko, V. F., Parfinovych, N. V., Pichugov, S. A. (2010). Sharp Kolmogorov-type inequalities for norms of fractional derivatives of multivariate functions. Ukr. mat. zhurn, V. 62, № 3, P. 301–314.

Babenko, V. F., Parfinovich, N. V. (2011). Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodnykh Rissa funktsiy mnogikh peremennykh i nekotoryye ikh prilozheniya [Kolmogorov type inequalities for the norms of Riesz derivatives of functions of several variables and some of their applications]. Trudy Uro RAN, V. 17, № 3, P. 60–70.

Babenko, V. F., Parfinovich, N. V., Pichugov, S. O. (2014). Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodnykh Rissa funktsiy mnogikh peremennykh s ogranichennym v Loo laplasianom i smezhnyye zadachi [Kolmogorov type inequalities for the norms of Riesz derivatives of functions of several variables with bounded in Loo Laplacian and related problems]. Mat. zametki, V. 95, №. 1, P. 3–17.

Babenko V. F., Parfinovich, N. V. (2012). Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodnykh Rissa funktsiy mnogikh peremennykh i nekotoryye ikh prilozheniya[Kolmogorov type inequalities for the norms of Riesz derivatives of functions of several variables and some of their applications] Ukr. mat. visn, V. 9, № 2, P. 157–174.

Motornyy, V. P., Babenko, V. F, Dovgoshey, A. A., Kuznetsova, O. I. (2010). Teoriya approksimatsii i garmonicheskiy analiz [Approximation theory and harmonic analysis]. Kiyev : Nauk. dumka, 302 p.

Samko, S. G., Kilbas, A. A., Marichev, O. I. (1987). Integraly i proizvodnye drobnoho poryadka i nekotorye ih prilozheniya [Fractional integrals and derivatives with some applications]. Minsk: Nauka i tekhnika, 688 p.

Kreyn, S. G., Petunin, YU. I, Semenov, Ye. M. (1978). Interpolyatsiya lineynykh operatorov [Interpolation of linear operators]. M., Nauka, 400 p.

Krasnosel’skiy M. A., Rutitskiy YA. B. (1958). Vypuklyye funktsii i prostranstva Orlicha [Convex functions and Orlicz spaces]. M., Fizmatgiz, 271 p.

Stechkin, S. B. (1967). Nailuchsheye priblizheniye ogranichennykh operatorov [the best approximation of bounded operators]. Mat. zametki, V. 1, №. 2, P 137–148.

Kurant, R. (1964). Uravneniya s chastnymi proizvodnymi[Partial differential equations]. M.: Mir, 843 p.

##submission.downloads##

Опубліковано

2017-06-18

Номер

Розділ

Математика та механіка