Критерій осциляції для сублінійних диференціальних рівнянь із запізненням

Анотація

Розглядається сублінійне диференціальне рівняння порядку $n\geqslant 2$ на інтервалі $[a,+\infty[$. Розв'язок такого рівняння називається правильним, якщо він не дорівнює нулеві в будь-якому околі $+\infty$. Правильний розв'язок називається осцилюючим, якщо він змінює свій знак в будь-якому околі $+\infty$. Казатимемо, що рівняння володіє властивістю $A$, якщо кожний його правильний розв'язок для парного $n$ є осцилюючим, а для непарного $n$ або осцилюючим, або таким, що монотоно збігається до нуля на нескінченності разом із своїми похідними до $n-1$-го порядку включно. Щоб дослідити осциляційні властивості таких рівнянь, вводяться дві множини --- $M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ та $\widetilde M _ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$ --- сублінійних за другим аргументом неперервних функцій $f:[a,+\infty[ \times\mathbb R \to\mathbb R $. У випадку, коли $f\in M_ sub ([a,+\infty[ \times\mathbb R )$, для диференціального рівняння $$ u^ (n)