Суперсингулярність еліптичних кривих і кривих Едвардса над $F_{p^n}$
DOI:
https://doi.org/10.18524/2519-206x.2018.1(31).134622Ключові слова:
суперсингулярні криві, скінчене поле, еліптична криптографія, крива Едвардса, еліптичні криві з малою степінню занурення в полеАнотація
Ми розглядаємо алгебраїчні криві у формі Едвардса і еліптичні криві Монтгомері над скінченим полем $F_ p^n $, які на даний час є одним з найбільш швидких і перспективиих носіїв груп, що на даний час мають багато застосувань. В роботi знайдено умови суперсингулярностi кривих Едвардса і великого класу скручених кривих Едвардса над полем $F_ p^n $ характреистики $p \equiv 3 mod 4$. Показано, що проективна крива Едвардса не є елiптичною. Досліджено деякі цікаві властивості групи точок цих кривих. Побудовано криві заданого порядку з мінімальним кофактором. Підраховано род скрученої кривої Едвардса. Знайдено умови мінімальності кофактора скрученої кривої Едвардса та її род.Посилання
Samko, S. G., Kilbas, A. A. Marichev, O. I. (1987). Integraly i proizvodnye drobnoho poryadka i nekotorye ih prilozheniya [Fractional integrals and derivatives with some applications]. Minsk: Nauka i tekhnika, 688 p.
Arestov, V. V. (1981). Ob integralnykh neravenstvakh dlya trigonometricheskikh polinomov i ikh proizvodnykh [About integral inequalities for trigonometrical polynomials and theirs derivatives]. Izv. AN USSR. Ser. matem., Vol. 45, P. 3-22.
Fikhtengolz, G. M. (2001). Kurs differentsialnogo i integralnogo ischisleniya [A Course of Differential and Integral Calculus], Vol. II. Moscow: Fizmatlit, 810 p.
Gradshtein, I. S. Ryzhyk, I. M. (1963). Tablitsy sntegralov, sum i proizvedeniy [Tables of integrals, sums and derivatives]. Moscow: GITTL, 1100 p.
Storozhenko, E. A. (1996). {K odnoi zadache Malera o nulyakh polinoma i ego proizvodnoy [For one Mahler's prooblem about zeros of polinomial and its derivative]. Matem. sbornik, Vol. 187, №5, P. 111-120.
Edwards, H. (2007). A normal form for elliptic curves. American Mathematical Society, Vol. 44, No. 3, July - pp. 393-422.
Bernstein, D. J., Birkner, P., Joye, M., Lange, T. Peters, Ch. Twisted Edwards Curves. IST Programme ECRYPT, and in part by grant ITR-0716498, 2008. РР. 1-17.
Drozd, Yu. A. Vstup do alhebrayichnoyi heometriyi - L.: Vntl-Klasyka. 2004. - 251 p.
Shafarevych, Yu. A. Osnovy alhebraycheskoy heometryy - M.: Nauka, T.1, 1969. - 184~p.
Bernstein, D. J., Lange Tanja. Faster addition and doubling on elliptic curves. IST Programme Contract 2002-507932 ECRYPT, - 2007. - pp. 1-20.
Hisil Huseyin, Koon-Ho Wong Kenneth, Carter Gary. Twisted Edwards Curves Revisited. ASIACRYPT LNCS 5350 - 2008. - pp. 326-343.
Fulton, W. Algebraic curves. An Introduction to Algebraic Geometry - Third Preface - January, 2008. - 121 P.
Rid M. Algebraicheskaya geometriya dlya vsekh. Moskva: Mir, 1991, 143 p.
Bolotov, A. A., Gashkov, S. B., Frolov, A. B. Chasovskikh, A. A. Elementarnoye vvedeniye v ellipticheskuyu kriptografiyu - M.: KomKnika. Tom 2., 2006. - 328 s.
Koblitz, N. [Eliptic Curve Cryptosystems] // Mathematics of Computation. - 1987. - V. 48, № 177. - Р. 203-209.
Menezes, A. J., Okamoto, T. Vanstone, S. A. [Reducing Elliptic Curve Logarithms to Logarithms in a Finite Field]. IEEE Transactions On Information Theory. - 1993. - Vol. 39, No. 5, September. pp. 1603-1646.
Alekseyev, Ye. K., Oshkin, I. B., Popov, V. O., Smyshlyayev, S. V. Sonina, L. A. O perspektivakh ispol'zovaniya skruchennykh ellipticheskikh krivykh Edvardsa so standartom GOST R 34.10-2012 i algoritmom klyuchevogo obmena na yego osnove Conference RusCrypto 2014. pp. 75-79.
Bessalov, A. V. Tsygankova, O. B. Vzaimosvyaz' semeystva tochek bol'shikh poryadkov krivoy Edvardsa nad prostym polem. Zakhist informatsii. 2015. - T. 17, № 1. - pp. 73-80.
Vinogradov, I. M. Osnovy teorii chisel: Uchebnoye posobiye. 12-ye izd. - SPb.: Izdatel'stvo "Lan'", 2009. 271 p.
Stepanov, S. Arifmetika algebraicheskikh krivykh. M.: Nauka., 1991g., 368 p.
Gupta, R., Murty, M. R. Primitive points on elliptic curves. Compos. Math.58, (1986) P. 13–44.
Montgomery, P. L., Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorizations, Math. Comp. 48, (1987), pp. 243-264.
Skuratovskii, R. Doslidzhennya vlastyvostey skruchenoyi kryvoyi Edvardsa. Konferentsiya derzhavnoyi sluzhby spetsial?noho zvyazku ta zakhystu informatsiyi. http://www.dstszi.gov.ua/dstszi/control/uk/publish/article?showHidden=1art id=252312 cat id=240232 ctime=1464080781894
Skuratovskii, R.~V. Twisted Edwards curve and its group of points over finite field $F_p$. XI Letnia shkola "Algebra, Topoloia, Analys " Odessa. (2016), PP. 122-124.
Skuratovskyy, R. V., Osadchyy,E. O. Kvashuk, D. M. Delenye tochky skruchennoy kryvoy Edvardsa na dva y ee prymenenye v kryptohrafyy. Visnyk natsional?noho tekhnichnoho universytetu "KHPI", №44, st. 90-96.
Skuratovskyy, R. V., Osadchyy,E. O. Kvashuk, D. M. Delenye tochky skruchennoy kryvoy ?dvardsa na dva y ee prymenenye v kryptohrafyy. Visnyk natsionalnoho tekhnichnoho universytetu "KHPI", №44, st. 90-96.
Skuratovskii, R. V. Skruncovich, U.~V. Twisted Edwards curve and its group of points over finite field $F_p$. Akademgorodok, Novosibirsk, Russia. Conference. Graphs and Groups, Spectra and Symmetries. http://math.nsc.ru/conference/g2/g2s2/exptext/SkruncovichSkuratovskii-abstract-G2S2.pdf
Skuratovskii, R. V. Movchan P. Normalizacia skruchennoi krivoi Edwardsa i doslidgennia yy vlastuvostei nad $F_p$. Zbirnuk prac 14 naukovo praktichoy conferencii FTI NRUU "KPI" 2016, Tom 2, p. 102-104.
Skuratovskii, R. V. Constructing of finite field normal basis in deterministic polynomial time(in ukraine). Bulletin of Kiev national university of Tarasa Shevchenka. 2011, P. 49-54.
Paul, S., Barreto, L. M. Naehrig M. Pairing-Friendly Elliptic Curves of Prime Order. International Workshop on Selected Areas in Cryptography SAC, 2005, pp. 319-331.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2020 Дослідження в математиці і механіці
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) роботи, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
