Ітераційний алгоритм обчислення власних значень і власних функцій задачі Штурма--Ліувілля

Автор(и)

  • В. В. Вербицкий Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, Ukraine
  • И. Н. Иванищева Одесский национальный политехнический университет, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.18524/2519-206x.2018.1(31).134616

Ключові слова:

задача Штурма-Ліувілля, власне значення, асимптотичні формули для власних значень, метод скінченних елементів

Анотація

Запропоновано ітераційний алгоритм обчислення $i$-го власного значення (в. з.) і відповідної власної функції (в. ф.) задачі Штурма-Ліувілля на скінченному інтервалі. Алгоритм використовує відомі асимптотичні формули для в. з. і в. ф. задачі Штурма-Ліувілля. Кожна ітерація алгоритму вимагає розв'язання крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку. Ліва частина цього рівняння є диференціальним оператором лівої частини рівняння Штурма-Ліувілля з деяким зсувом, а права - наближенням до шуканої в. ф. Наведено приклад, в якому згадана крайова задача вирішувалася методом скінченних елементів з тригонометричними функціями-кришками, визначеними на рівномірній сітці. У цьому прикладі запропонований алгоритм фактично зводиться до ітераційного алгоритму визначення $i$-го в. з. скінченно-елементної апроксимації задачі Штурма-Ліувілля, що є узагальненою матричною задачею на в. з., тільки $i$-е в. з. якої наближає в. з. вихідної задачі.

Біографії авторів

В. В. Вербицкий, Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова

Verbitskyi V. V.

И. Н. Иванищева, Одесский национальный политехнический университет

Ivanischeva I. N.

Посилання

Vinokurov, V. A., Sadovnichy, V. A. (2000). Asimptotika lyubogo poryadka sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy krayevoy zadachi Shturma - Liuvillya na otrezke s summiruyemym potentsialom [Asymptotics of any order of proper values and eigenfunctions of the Sturm - Liouville boundary value problem on the interval with summable potential]. Izv. RAN. Ser. matem., Vol. 64, № 4, P. 47-108.

Levitan, B. M., Sarkisian, I. S. (1988). Operatory Shturma - Liuvillya i Diraka [Operators of Sturm - Liouville and Dirac]. Moscow, Nauka. 432 p.

Makarov, V. L. (1991). O funktsional'no-raznostnom metode proizvol'nogo poryadka tochnosti resheniya zadachi Shturma - Liuvillya s kusochno-gladkimi koeffitsiyentami [On a functional-difference method of an arbitrary order of accuracy for the solution of the Sturm - Liouville problem with piecewise smooth coefficients]. DAN SSSR, Ser. matem., Vol. 320, № 1, P. 34-39.

Makarov, V. L., Romanyuk, N. M. (2014). Novi vlastyvosti FD-metodu pry yoho zastosuvannyakh do zadach Shturma - Liuvillya [New properties of FD-method in its applications to Sturm - Liouville tasks]. Rep. of the National Academy of Sciences of Ukraine, № 2, P. 26-31.

Marchenko, V. A. (1977). Operatory Shturma - Liuvillya i ikh prilozheniya [Operators of Sturm - Liouville and their applications]. Kyev: Nauk. dumka, 331 p.

Prikazchikov, V. G. (1969). Odnorodnyye raznostnyye skhemy vysokogo poryadka tochnosti dlya zadachi Shturma -Liuvillya [Homogeneous difference schemes of high order of accuracy for the Sturm - Liouville problem]. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., Vol. 9, № 2, P. 315–-336.

Paine, J. W., de Hoog, F. R. and Anderssen, R. S. (1981). On the correction of finite difference eigenvalue approximations for Sturm - Liouville problems. Computing, Vol. 26, i. 2, P. 123-139.

Prikazchikov, V. G., Loseva, M. V. (2004). High-accuracy finite-element method for the Sturm - Liouville problem. Cybernetics and Systems Analysis. Vol. 40, №. 1, P. 1-6.

Pryce, John D. (1993). Numerical Solution of Sturm - Liouville Problems. Oxford University Press, 322 p.

Vanden, Berghe G., De Meyer, H. (1994). A finite-element estimate with trigonometric hat functions for Sturm - Liouville eigenvalues. J. of Comput. and Applied Mathematics, Vol. 53, P. 389-396.

##submission.downloads##

Опубліковано

2018-06-01

Номер

Розділ

Математика та механіка