DOI: https://doi.org/10.18524/2519-206x.2018.1(31).134616

Ітераційний алгоритм обчислення власних значень і власних функцій задачі Штурма--Ліувілля

В. В. Вербицкий, И. Н. Иванищева

Анотація


Запропоновано ітераційний алгоритм обчислення $i$-го власного значення (в. з.) і відповідної власної функції (в. ф.) задачі Штурма-Ліувілля на скінченному інтервалі. Алгоритм використовує відомі асимптотичні формули для в. з. і в. ф. задачі Штурма-Ліувілля. Кожна ітерація алгоритму вимагає розв'язання крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку. Ліва частина цього рівняння є диференціальним оператором лівої частини рівняння Штурма-Ліувілля з деяким зсувом, а права - наближенням до шуканої в. ф. Наведено приклад, в якому згадана крайова задача вирішувалася методом скінченних елементів з тригонометричними функціями-кришками, визначеними на рівномірній сітці. У цьому прикладі запропонований алгоритм фактично зводиться до ітераційного алгоритму визначення $i$-го в. з. скінченно-елементної апроксимації задачі Штурма-Ліувілля, що є узагальненою матричною задачею на в. з., тільки $i$-е в. з. якої наближає в. з. вихідної задачі.

Ключові слова


задача Штурма-Ліувілля; власне значення; асимптотичні формули для власних значень; метод скінченних елементів

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


Vinokurov, V. A., Sadovnichy, V. A. (2000). Asimptotika lyubogo poryadka sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy krayevoy zadachi Shturma - Liuvillya na otrezke s summiruyemym potentsialom [Asymptotics of any order of proper values and eigenfunctions of the Sturm - Liouville boundary value problem on the interval with summable potential]. Izv. RAN. Ser. matem., Vol. 64, № 4, P. 47-108.

Levitan, B. M., Sarkisian, I. S. (1988). Operatory Shturma - Liuvillya i Diraka [Operators of Sturm - Liouville and Dirac]. Moscow, Nauka. 432 p.

Makarov, V. L. (1991). O funktsional'no-raznostnom metode proizvol'nogo poryadka tochnosti resheniya zadachi Shturma - Liuvillya s kusochno-gladkimi koeffitsiyentami [On a functional-difference method of an arbitrary order of accuracy for the solution of the Sturm - Liouville problem with piecewise smooth coefficients]. DAN SSSR, Ser. matem., Vol. 320, № 1, P. 34-39.

Makarov, V. L., Romanyuk, N. M. (2014). Novi vlastyvosti FD-metodu pry yoho zastosuvannyakh do zadach Shturma - Liuvillya [New properties of FD-method in its applications to Sturm - Liouville tasks]. Rep. of the National Academy of Sciences of Ukraine, № 2, P. 26-31.

Marchenko, V. A. (1977). Operatory Shturma - Liuvillya i ikh prilozheniya [Operators of Sturm - Liouville and their applications]. Kyev: Nauk. dumka, 331 p.

Prikazchikov, V. G. (1969). Odnorodnyye raznostnyye skhemy vysokogo poryadka tochnosti dlya zadachi Shturma -Liuvillya [Homogeneous difference schemes of high order of accuracy for the Sturm - Liouville problem]. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., Vol. 9, № 2, P. 315–-336.

Paine, J. W., de Hoog, F. R. and Anderssen, R. S. (1981). On the correction of finite difference eigenvalue approximations for Sturm - Liouville problems. Computing, Vol. 26, i. 2, P. 123-139.

Prikazchikov, V. G., Loseva, M. V. (2004). High-accuracy finite-element method for the Sturm - Liouville problem. Cybernetics and Systems Analysis. Vol. 40, №. 1, P. 1-6.

Pryce, John D. (1993). Numerical Solution of Sturm - Liouville Problems. Oxford University Press, 322 p.

Vanden, Berghe G., De Meyer, H. (1994). A finite-element estimate with trigonometric hat functions for Sturm - Liouville eigenvalues. J. of Comput. and Applied Mathematics, Vol. 53, P. 389-396.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


Винокуров В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом / В. А. Винокуров,  В. А. Садовничий  // Изв. РАН. Сер. матем. - 2000. - Т. 64, вып. 4. - C. 47-108.

Левитан Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Сарксян.  - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 432 c.

Макаров В. Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи Штурма"- Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами / В. Л. Макаров // ДАН СССР, Сер. матем. - 1991. - Т. 320, № 1. - C. 34-39.

Макаров В. Л.  Новi властивостi FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма"- Лiувiлля / В. Л. Макаров, Н. М. Романюк  // Доп. НАН України. - 2014. - № 2. - С. 26-31.

Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В. А. Марченко. -   Киев: Наук. думка, 1977. - 331 c.

Приказчиков В. Г.  Однородные разностные схемы высокого порядка точности для задачи Штурма-Лиувилля / В. Г. Приказчиков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1969. - Т. 9, № 2. - С. 315-336.

Paine J. W. On the correction of finite difference eigenvalue approximations for Sturm-Liouville problems / J. W. Paine, F. R. de Hoog, R. S. Anderssen // Computing. - 1981. - Vol. 26, i. 2. - P. 123-139.

Prikazchikov V. G. High-accuracy finite-element method for the Sturm-Liouville problem / V. G. Prikazchikov, M. V. Loseva   // Cybernetics and Systems Analysis. - Vol. 40, No. 1. - 2004. - P. 1-6.

Pryce John D. Numerical Solution of Sturm-Liouville Problems / John D. Pryce. - Oxford University Press. - 1993. - 322 p.

Vanden Berghe G. A finite-element estimate with trigonometric hat functions for Sturm-Liouville eigenvalues / G. Vanden Berghe, H. De Meyer // J. of Comput. and Applied Mathematics. - 1994. - Vol. 53. - P. 389-396.





ISSN: 2519-206X (Print)

DOI: 10.18524/2519-206X