ПРО АСИМПТОТИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ ОДНОГО КЛАСУ РОЗВ’ЯЗКІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Анотація

Для диференціального рівняння другого порядку загального виду y′′ = f(t, y, y′), де f : [α, ω[ × ΔY₀ × ΔY₁ → R – неперервна функція, -∞ < α < ω ≤ +∞, ΔY_i – односторонній окіл Y_i, Y_i ∊ {0, ±∞} (i ∊ {0, 1}) розглянуто питання існування розв’язків, для яких lim_t↑ω y⁽ⁱ⁾ (t) = Y_i (i ∊ {0, 1}). Серед множини таких розв’язків відокремлюємо достатньо широкий клас т. з. P_ω(Y₀, Y₁, λ₀)-розв’язків. Такого типу розв’язки раніше було уведено при вивченні двочленного рівняння y′′ = α₀p(t)ϕ₀(y)ϕ₁(y′), де α₀ ∊ {-1, 1}, p : [α, ω[→]0, +∞[ – неперервна функція, ϕ_i : ΔY_i →]0, +∞[ (i = 0, 1) – неперервні правильно змінні при z → Y_i (i = 0, 1) функції порядків σ_i (i = 0, 1), σ₀ + σ₁ ≠ 1. У даній роботі встановлено умову, за якій права частина рівняння в деякому сенсі є близькою при λ₀ ∊ R∖{0, 1} та t↑ω до добутку α₀p(t)ϕ₀(y), де функція ϕ₀ є швидко змінною при y → Y₀. При виконанні цієї умови знайдено необхідні, а також достатні умови існування P_ω(Y₀, Y₁, λ₀)-розв’язків, встановлено асимптотичні зображення таких розв’язків та їх похідних першого порядку, вказано кількість параметричних сімей таких розв’язків. Наведено приклад.