Необхідні умови існування Pω(Y0, Y1, λ0)-розв'язків диференціального рівняння другого порядку з щвидко змінною нелінійністю

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.18524/2519-206X.2022.1-2(39-40).294318

Ключові слова:

двочленне диференцiальне рiвняння, Pω(Y0, Y1, λ0)-розв’язок, асимптотичнi зображення розв’язкiв, швидко змiнна функцiя, однопараметрична сiм’я розв’язкiв, двопараметрична сiм’я розв’язкiв

Анотація

Розглядаємо диференцiальне рiвняння другого порядку загального виду y’’ = f(t, y, y’), де f : [a, ω] x ΔY0 x ΔY1R – неперервна функцiя, −∞ < a < ω ≤ +∞, ΔYi – одностороннiй окiл Yi, Yi ∈ {0, ±∞} (i ∈ {0, 1}). При певних умовах на функцiю f це рiвняння може бути подане близьким до двочленного, а саме y’’ = α0p(t)ϕ1(y’)(1 + o(1)) при tω, де ϕ1 – швидко змiнна при y’ → Y1 функцiя. Знайдено необхiднi умови iснування розв’язкiв, для яких lim<sup>tω</sup> y(i) (t) + Yi (i ∈ {0,1}), lim<sup>tω</sup> [y’(t)]2/y(t)y’’(t) = λ0, т. з. Pω(Y0, Y1, λ0)-розв’язкiв. Такого типу розв’язки ранiше було ведено в роботах Євтухова В. М., Белозерової М. О. при вивченнi двочленного рiвняння y’’ = α0p(t)ϕ0(y)ϕ1(y’), де α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[→]0, +∞[–неперервна функцiя, ϕi : ΔYi →]0, +∞[(i = 0, 1)–неперервнi правильно змiннi при zYi (i = 0, 1) функцiї порядкiв σi (i = 0, 1), причому σ0 + σ1 ≠ 1. Далi, у дослiдженнях Євтухова В. М., Чернiкової А. Г. для рiвняння y’’ = α0p(t)ϕ0(y) встановлено необхiднi, достатнi умови iснування, а також асимптотичнi при tω зображення Pω(Y0, Y1, λ0)-розв’язкiв у випадку, коли ϕ0 – швидко змiнна при yY0 функцiя.

Посилання

Evtukhov V. M. (1998). Asimptoticheskoye povedeniye resheniy odnogo nelineynogo differentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka tipa Emdena - Faulera [The asymptotic behavior of the solutions of one nonlinear second-order differential equation of the Emden-Fowler type]. Dis.... cand. fiz.-mat. nauk: 01.01.02. Odessa. 154 p.

Chernikova A. G. (2019). Asimptotichna povedinka roz’vyazkiv zvychaynykh dyferentsial’nykh rivnyan’zi shvydko zminnymy neliniynostyamy [Asymptotic behavior of solutions of ordinary differential equations with rapidly varying nonlinearities]. Dis.... cand. fiz.-mat. nauk: 01.01.02. Odesa. 156 p.

Bingham N. H., Goldic C. M., Teugels J. L. (1987). Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press, 494 p.

Evtukhov V. M., Samoylenko A. M. (2010). Usloviya sushchestvovaniya ischezayushchikh v osoboy tochke resheniy u veshchestvennykh neavtonomnykh sistem kvazilineynykh differentsial’nykh uravneniy [Existence conditions solutions vanishing at a singular point for real non-autonomous systems quasilinear differential equations]. Ukr. Mat. Zh., Vol. 62, No. 1. P. 52–80.

##submission.downloads##

Опубліковано

2024-02-13

Номер

Розділ

Математика