Необхідні умови існування Pω(Y0, Y1, λ0)-розв'язків диференціального рівняння другого порядку з щвидко змінною нелінійністю

Анотація

Розглядаємо диференцiальне рiвняння другого порядку загального виду y’’ = f(t, y, y’), де f : [a, ω] x Δ_Y0 x Δ_Y1 → R – неперервна функцiя, −∞ < a < ω ≤ +∞, Δ_Yi – одностороннiй окiл Y_i, Y_i ∈ {0, ±∞} (i ∈ {0, 1}). При певних умовах на функцiю f це рiвняння може бути подане близьким до двочленного, а саме y’’ = α₀p(t)ϕ₁(y’)(1 + o(1)) при t↑ω, де ϕ₁ – швидко змiнна при y’ → Y₁ функцiя. Знайдено необхiднi умови iснування розв’язкiв, для яких lim^t↑ω y⁽ⁱ⁾ (t) + Y_i (i ∈ {0,1}), lim^t↑ω [y’(t)]²/y(t)y’’(t) = λ₀, т. з. P_ω(Y₀, Y₁, λ₀)-розв’язкiв. Такого типу розв’язки ранiше було ведено в роботах Євтухова В. М., Белозерової М. О. при вивченнi двочленного рiвняння y’’ = α₀p(t)ϕ₀(y)ϕ₁(y’), де α₀ ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[→]0, +∞[–неперервна функцiя, ϕ_i : Δ_Yi →]0, +∞[(i = 0, 1)–неперервнi правильно змiннi при z → Y_i (i = 0, 1) функцiї порядкiв σ_i (i = 0, 1), причому σ₀ + σ₁ ≠ 1. Далi, у дослiдженнях Євтухова В. М., Чернiкової А. Г. для рiвняння y’’ = α₀p(t)ϕ₀(y) встановлено необхiднi, достатнi умови iснування, а також асимптотичнi при t↑ω зображення P_ω(Y₀, Y₁, λ₀)-розв’язкiв у випадку, коли ϕ₀ – швидко змiнна при y → Y₀ функцiя.