Числа виду n = (u^2 + dv^2)ω в арифметичній прогресії
DOI:
https://doi.org/10.18524/2519-206X.2022.1-2(39-40).294316Ключові слова:
уявне квадратичне поле, дзета-функцiя Гекка, ряд Дiрiхле, функцiональне рiвняння, суматорна функцiяАнотація
Нехай R(n) означає кількість зображень натурального n у вигляді n = (u2 + v2)ω, u,v ∈ Z, ω ∈ N. Функція R(n) є аналогом функції дільників d3(n). Узагальнюючи результат Хіз-Брауна про розподіл значень функції d3(n) на арифметичній прогресії n ≡ a(modq), (a, q) = 1, зі зростаючою разом з x різницею прогресії q, побудована асимптотична формула для суматорної функції для R(n), яка нетривіальна для q ≤ x1/2log-3x. При доведенні цього результату використовується скорочене функціональне рівняння дзета-функції Гекке з уявного квадратичного поля Q(√-d) з зсувом на прямій Res = 1/2 + Δ, │Δ│ < 1/2.
Посилання
Balyas L., Varbanets P. (2016). Quadratic residues of the norm group in the sectorial domains. Algebra and Discrete Math., Vol. 22, No. 2, P. 153–170.
Belozerov G. S. (1991). Asymptotic formulas for numbers of solutions of Diophantine eduations. Odessa: Dissertation.
Hecke E. (1920). Über eine neue Art von Zeta-funktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen. Math. Z., Vol. 6, P. 11–51.
Lavrik A. F. (1968). Approximate function equation for the Dirichlet L-functions. Trudy Moskov.: Mat. Obschch., Vol. 18, P. 91–104 (in Russian).
Tichmash E. (1986). The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford.
Varbanets P., Zarzycki P. (1989). Divisors of the Gaussian Integers in an Arithmetic Progression. Journ. Number Theory, Vol. 33, P. 152–169.
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) роботи, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
