Числа виду n = (u^2 + dv^2)ω в арифметичній прогресії

Автор(и)

  • Г. С. Бєлозьоров Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, Ukraine
  • А. В. Воробйова Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.18524/2519-206X.2022.1-2(39-40).294316

Ключові слова:

уявне квадратичне поле, дзета-функцiя Гекка, ряд Дiрiхле, функцiональне рiвняння, суматорна функцiя

Анотація

Нехай R(n) означає кількість зображень натурального n у вигляді n = (u2 + v2)ω, u,v ∈ Z, ω ∈ N. Функція R(n) є аналогом функції дільників d3(n). Узагальнюючи результат Хіз-Брауна про розподіл значень функції d3(n) на арифметичній прогресії na(modq), (a, q) = 1, зі зростаючою разом з x  різницею прогресії q, побудована асимптотична формула для суматорної функції для R(n), яка нетривіальна для qx1/2log-3x. При доведенні цього результату використовується скорочене функціональне рівняння дзета-функції Гекке з уявного квадратичного поля Q(√-d) з зсувом на прямій Res = 1/2 + Δ, │Δ│ < 1/2.

Посилання

Balyas L., Varbanets P. (2016). Quadratic residues of the norm group in the sectorial domains. Algebra and Discrete Math., Vol. 22, No. 2, P. 153–170.

Belozerov G. S. (1991). Asymptotic formulas for numbers of solutions of Diophantine eduations. Odessa: Dissertation.

Hecke E. (1920). Über eine neue Art von Zeta-funktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen. Math. Z., Vol. 6, P. 11–51.

Lavrik A. F. (1968). Approximate function equation for the Dirichlet L-functions. Trudy Moskov.: Mat. Obschch., Vol. 18, P. 91–104 (in Russian).

Tichmash E. (1986). The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford.

Varbanets P., Zarzycki P. (1989). Divisors of the Gaussian Integers in an Arithmetic Progression. Journ. Number Theory, Vol. 33, P. 152–169.

##submission.downloads##

Опубліковано

2024-02-13

Номер

Розділ

Математика