Кубічні степеневі ряди, добуток ейлера та тета-функції Рамануджана
DOI:
https://doi.org/10.18524/2519-206X.2021.1(37).248015Ключові слова:
кубічні степеневі ряди, добуток Ейлера, тета-функції Рамануджана, ряди ЕйзенштейнаАнотація
У статті розглядається елементарний метод, який базується на властивостях кубічних тета-функцій, у зв'язку з отриманням нових формул, в яких через добуток Ейлера виражаються степеневі ряди з коефіцієнтами, які дорівнюють значенням функції суми непарних степенів дільників (або з коефіцієнтами, які дорівнюють значенням теоретико-числової тау-функції) на арифметичній прогресії з різницею 3. У якості наслідків отримані декілька числових рівностей у стилі Рамануджана, а також асимптотична формула поведінки степеневого ряду поблизу кінця інтервалу збіжності. Приведена загальна формула для так званого кубічного степеневого ряду через кубічні тета-функції Рамануджана, і проведений аналіз випадків, коли в цю залежність входить раціонально лише нескінченний добуток Ейлера. Для отримання цієї залежності використана знаменита теорема Рамануджана про ряди Ейзенштейна, а також застосований варіант параметричного методу, у якому одну з головних ролей грає вираз параметру через кубічну тета-функцію.
Посилання
B. C. Berndt, Ramanujan Notebooks, Part V, Springer-Verlag, New York, 1998.
G. E. Andrews, B. C. Berndt, Ramanujan’s Lost Notebook, Part I, Springer-Verlag, New York, 2005.
Г. Харди, Двенадцать лекций о Рамануджане, Институт компьютерных исследований, М., 2002.
G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, B. M. Wilson, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge, 1927.
S. E. Gladun, A Generating Function for σ(3n−1), Mathematical Notes, Vol. 95, No. 4 (2014), 565-569.
G. A. Lomadze, Representation of numbers by sums of the quadratic forms x_1^2 +x_1 x_2+
x_2^2 (Russian), Acta Arith. 54 (1989), 9-36.
A. S. Merzlyakov, The problem of G. A. Lomadze on the representation of numbers by the sum of binary quadratic forms of the kind x^2 + xy + y^2. (Russian) Deposited in VINITI (Vsesoyuzn. Inst. Nauch. Tekh. Inform. Acad. Nauk SSSR), 26.04.89, No. 2753-B89.
N. Kachakhidze, On the representation of numbers by the direct sums of some binary quadratic forms, Georgian Mathematical Journal. Vol. 5, No. 1 (1998), 55-70.
M. D. Schmidt, Combinatorial sums and identities involving generalized sum-of divisors functions with bounded divisors, INTEGERS 20 (2020).
Zhi-Guo Liu, The Borweins’ cubic theta function identity and some cubic modular identities of Ramanujan, Ramanujan Journal (2000).
Nayandeep Deka Barauh, Modular equations for Ramanujan cubic continued fraction, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 268, 244-255 (2002).
Jinhee Yi, Theta-functions identities and the explicit formulas for theta-functions and their applications, J. Math. Anal. Appl., 292 (2004), 381-400.
J. M. Borwein, P. B. Borwein, A cubic counterpart of Jacobi’s identity and the AGM, Trans. Amer. Math. Soc. 323 (1991), 691-701.
B. C. Berndt, Ramanujan Notebooks, Part III, Springer-Verlag, New York, 1991.
Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Мир, М., 1972.
B. C. Berndt, Ramanujan Notebooks, Part II, Springer-Verlag, New York, 1989.
В. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, М., 1993.
I. G. Macdonald, Affine root systems and Dedekind’s σ-function, Matematika, 1972, Volume 16, Issue 4, 3-49.
V. G. Kac, Infinite-Dimensional Algebras, Dedekind’s η-function, Classical Möbius Function and the Very Strange Formula, Advances in Mathematics, 30, 85-136, 1978.
M. D. Schmidt, Continued fractions and q-series generating functions for the generalized sum-of-divisors functions, Journal of Number Theory (2017).
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) роботи, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
