Метод Ньютона для задачі на власні значення симетричної матриці

Автор(и)

  • В. В. Вербіцький
  • A. Г. Гук

DOI:

https://doi.org/10.18524/2519-206X.2020.2(36).233787

Анотація

Розглянуто метод Ньютона обчислення власного значення та відповідного власного вектора дійсної симетричної матриці. Нелінійна система рівнянь, яка розв'язується методом Ньютона, складається з рівняння, що визначає власне значення і власний вектор матриці, та умови нормування власного вектора. Метод дозволяє одночасно обчислювати власне значення і відповідний власний вектор. Початкові наближення для власного значення і відповідного власного вектора можна знайти степеневим методом або методом зворотної ітерації зі зсувом. Запропоновано простий доказ збіжності методу Ньютона в околиці простого власного значення. Показано, що метод має квадратичну швидкість збіжності. За обчислювальними витратами на одну ітерацію метод Ньютона можна порівняти з методом зворотної ітерації з відношенням Релея. На відміну від зворотної ітерації, метод Ньютона дозволяє обчислити власну пару з більшою точністю.

Посилання

Kantorovich L.V. Akilov G.P. (1984). Funktsionalnyi analiz [Functional analysis]. Moskow: Nauka, 752 p.

Wilkinson J.H. (1965). The algebraic eigenvalue problem. New York: Oxford Univ. press, 662 p.

Faddeev D. K. Faddeeva V. N. (1963). Vychislitelnye metody lineinoi algebry [Computational methods of linear algebra]. Moskow: Gos. Izdat. Fiz. Mat. Lit., 734 p.

Kublanovskaya V.N. (1972). Metod Newtona dlya opredeleniya sobstvenyh znachenii i sobstvenyh vektorov matritsy [A Newton’s method for finding the eigenvalues and eigenvectors of a matrix]. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 12, Issue 6., p. 1-12.

Collattz L. (1964). Funktionalanalysis und numerische mathematik. Berlin-Guttingen- Heidelberg: Springer-Verlag, 371 p.

Izmailov A.F., Solodov M. V. (2005). Chislenye metody optimizatsii [Numerical optimization methods]. Moskow: FIZMATLIT, 304 p.

Parlett B. (1987). The symmetric eigenvalue problem. SIAM, 426 p.

Samarskiy A.A. (1983). Teoriya raznostnyh shem [The theory of difference schemes]. Moskow: Glav. Red. Fiz. Mat. Lit., 616 p.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-06-09

Номер

Розділ

Математика та механіка