Дослідження в математиці і механіці

АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОЧЛЕННИХ ДIФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ЕКСПОНЕНЦIЙНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ

В. М. Євтухов, С. В. Голубєв — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Для двочленого неавтономного звичайного диференцiального рiвняння четвертого порядку з експоненцiальною нелiнiйнiстю виду y⁽⁴⁾ = α₀p₀(t)[1 + r(t)]e^σy де α₀ ∈ {−1,1}, σ ≠ 0, функцiя p₀(t) є неперервною або неперервно диференцiйованою i вiдмiнною вiд нуля у деякому лiвому околi ω (ω ≤ +∞), r(t) непрервна функцiя така, що lim_t_↑_ωr(t) = 0, дослiджується асимптотична поведiнка при t↑ω одного класу P_ω(Y₀, λ₀)-розв’язкiв. Для цього рiвняння в роботi [1] були отриманi необхiднi та достатнi умови iснування таких ровязкiв в випадку коли λ₀ ∈ R∖ {0, 1/2, 2/3, 1}. При цьому доведення достатнiх умов iснування було здiйснено при деяких додаткових умовах якi є достатьно жорсткими. Мета даної роботи це спроба покращити результати отриманi в роботi [1] для достатнiх умов iснування. Зроблена спроба поширення результатiв цiєї роботи на умови якi є меньш жорсткими. На вiдмiну вiд [1] при доведеннi основного результату в цiй роботi передбачається, що iснує скiнченна або нескiнченна границя lim_t_↑_ω π_ω(t)q’(t).

Дослiджуване рiвняння зводиться до системи рiвнянь, для якої потрiбно визначити iснування зникаючих у нескiнченностi розв’язкiв. Цей факт встановлюється з використанням вiдомих результатiв з роботи [2]. Разом з цим отримана вiдповiдь на питання про кiлькiсть розв’язкiв рiвняння зi знайденими асимптотичними зображеннями.

РОЗВ’ЯЗАННЯ ОСНОВНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОРТОТРОПНОГО ШАРУ

І. В. Зіновєєв, Н. С. Дзундза — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Розглядаються перша, друга основнi та змiшана крайовi задачi лiнiйної теорiї пружностi для однорiдного ортотропного шару постiйної товщини. На шар дiє поверхневе навантаження. Внутрiшнi зусилля вiдсутнi. Потрiбно визначити напруження та перемiщення в довiльнiй точцi шару, за умови плоскої деформацiї. Побудовано розв’язки поставлених задач. Розв’язок задачi шукається у просторi трансформант одновимiрного iнтегрального перетворення Фур’є, де встановлюється спiввiдношення мiж трансформантами функцiї напружень та трансформантами перемiщень i напружень. Шуканi величини виражаються через чотири допомiжнi функцiї, якi пов’язанi з трансформантами напружень i перемiщень на верхнiй межi. Для отримання iстиних значеннь напружень i перемiщень в точках ортотропного шару до знайдених трансформант напружень i перемiщень застосовується обернене iнтегральне перетворення Фур’є. Отримано числовi розв’язки для конкретних випадкiв та проведено аналiз результатiв.

МЕТОД ЛАНЦЮГIВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ СКIНЧЕННОГО ПОРЯДКУ ТА ДЕЯКI ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

В. Є. Круглов — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

В цiй роботi наведено схему методу ланцюгiв стосовно розв’язання скiнченного лiнiйного рiзницевого рiвняння, i приведено формулу загального розв’язку цього рiвняння. Як наслiдок, наведено формулу загального розв’язку рiзницевого рiвняння зi сталими коефiцiєнтами, яка цiлком залежить тiльки вiд коефiцiєнтiв цього рiвняння. Розглянутi розв’язки лiнiйних диференцiальних рiвнянь у виглядi узагальненого степеневого ряду, коефiцiєнти якого знаходяться методом ланцюгiв. Внаслiдок перестановки елементiв степеневого ряду розв’язок рiвняння мiстить нову функцiю, а саме: гiпергеометричну функцiю дробового порядку.

КОНФОРМНО-ПЛАСКI КЕЛЕРОВI ПРОСТОРИ

О. Лесечко, А. Соловйов — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Дослiджуються геометричнi властивостi келерових просторiв, якi допускають конформнi вiдображення, вiдмiннi вiд гомотетичних вiдображень, на пласкi псевдорiмановi простори. В роботi доведено, що не iснує не пласких конформно-пласких келерових просторiв, розмiрнiсть яких вiдмiнна вiд чотирьох. Показано, що чотиривимiрнi конформно-пласкi простори можуть бути вкладенi в шестимiрнi пласкi псевдорiмановi простори. В конформно-пласких келерових просторах побудовано iдемпотентний коварiантно сталий не пропорцiйний метричному тензор i, таким чином, доведено, що вказанi простори є звiдними псевдорiмановими просторами.

Дослiдження ведуться локально, тензорними методами без обмежень на сигнатуру та знаковизначеннiсть метричного тензору келерового простору. В роботi широко застосовується спецiальна операцiя (спряження), що введена для келерових просторiв, та її властивостi для тензорiв Рiмана та Рiччi.

L-IНТЕГРАЛ ДЛЯ IЗОПЕРИМЕТРИЧНИХ ЕКСТРЕМАЛЕЙ ПОВОРОТУ

С. Г. Лейко — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

В данiй роботi розглянуто геодезичний потiк на сферичному дотичному розшаруваннi двомiрного рiманового многовиду з метрикою Сасакi та показано, що, якщо базисний многовид локально iзометричний поверхнi обертання, то вiдповiдна потоку гамiльтонова система цiлком iнтегрована за Лiувiллем. Звiдси, як наслiдок, знаходяться траєкторiї потоку в квадратурах.

ПIДХIД ДО ЕФЕКТИВНИХ МЕТОДIВ РОЗВ’ЯЗАННЯ БАГАТОМIРНИХ ЕЙКОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ

А. Л. Максимов, С. В. Прокоф’єва — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

У статтi представлено розширений метод розв’язування ейконального рiвняння в чотиривимiрному просторi зi слабкими деформацiями. Ейкональне рiвняння, поєднує хвильову оптику з геометричною оптикою та має рiзнi фiзичнi iнтерпретацiї, включаючи задачи пошуку найкоротших шляхiв та обчислення електромагнiтних або гравiтацiйних потенцiалiв. Запропонований метод розширює технiку трассування сфери до просторiв багатьох вимiрiв з деформацiiми i продемонстровано для задачi в просторi чотирьох вимiрiв. Метод використовує неявнi функцiї для опису границь об’єктiв, що побудованi з скiнченого або нескiнченого числа багатомiрних примiтивiв. Нелiнiйне трассування сфери досягається генерацiєй на кожному кроцi трассування звичайних (багатомiрних) диференцiальних рiвнянь першого порядку з використанням гiбрiдного методу розв’язання, що поєднує метод Ейлера, коли сфера знаходиться близько до границi, з методами вищого порядку, коли сфера знаходиться далеко вiд границь. Вплив нелiнiйних перетворень на процес трасування реалiзуєтся за допомогою матрицi Якобi деформацiї. Пiдхiд реалiзовано як шейдерну программу на мовi GLSL, а вплив нелiнiйних перетворень визначається за допомогою параметра перетворення, який впливає на матрицю Якобi. Обчислювальна продуктивнiсть методу оцiнюється через середню та максимальну частоти кадрiв для рiзних значень параметра. Запропонований пiдхiд може знайти застосування в таких галузях, як комп’ютерна графiка, часозалежна комп’ютерна томографiя, сейсмiчна томографiя та астрофiзичне моделювання, оптимальне керування.

ФУНКЦIЇ МОРСА ТА ФУНКЦIЇ КОРОЗМIРНОСТI 1 НА ПРОЕКТИВНIЙ ПЛОЩИНI

О. О. Пришляк, С. О. Стась — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Для опису топологiчних властивостей функцiй на двовимiрних многовидах використовується iнварiант, що називається графом Рiба. У випадку простих функцiй Морса на замкнутих орiєнтованих двовимiрних многовидах, це повний топологiчний iнварiант для пошарової еквiвалентностi. У разi неорiєнтованого двовимiрного многовиду, а також многовидiв з межею потрiбна додаткова iнформацiя для побудови повного топологiчного iнварiанта. Якщо лiнiйний порядок заданий на множинi вершин, то вiн стає повним топологiчним iнварiантом вiдносно топологiчної еквiвалентностi.

У роботi дослiджується топологiчна класифiкацiя функцiй Морса та функцiй корозмiрностi 1 на проективнiй площинi. У цих випадках граф Рiба є орiєнтованим кореневим деревом. Отримано аналiтичний вираз для кiлькостi орiєнтованих графiв Рiба з коренем. Для функцiй корозмiрностi 1 для фiксованої кiлькостi критичних точок побудованi всi можливi графи Рiба.

ОСОБЛИВОСТI ПОБУДОВИ РIВНОМIРНОЇ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ ПРИ ДОДАТНИХ КОЕФIЦIЄНТАХ МАТРИЦI

В. В. Собчук, І. О. Зеленська — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Робота присвячена аналiзу коефiцiєнтiв сингулярного оператора типу Орра-Зоммерфельда у векторнiй формi включаючи точку звороту. Дослiджена система сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з малим параметром при старшiй похiднiй. Розглянуто випадок, коли спектр граничного оператора мiстить кратнi i тотожно рiвнi нулевi елементи. Використовуючи метод iстотно особливих функцiй, побудовано рiвномiрну асимптотику розв’язку системи. Для випадку стабiльної точки звороту, асимптотика розв’язкiв системи побудована в секторi, який мiстить точку звороту. Асимптотика перших двох розв’язкiв для однорiдної задачi побудована з використанням функцiй Ейрi та їх похiдних. Третiй формальний розвязок однорiдної системи для даного випадку виклає певнi труднощi. Тому з урахуванням вказаних умов для побудови рiвномiрної асимптотики розв’язку для заданої системи, використали частинний розв’язок неоднорiдної системи в якостi третього розв’язку однорiдної системи.

ПPO АСИМПТОТИКУ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕАВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ АСИМПТОТИЧНО БЛИЗЬКИХ ДО ЛIНIЙНИХ

А. О. Стехун — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування всiх можливих типiв P_ω(Y₀, λ₀)-розв’язкiв неавтономних двочленних звичайних диференцiальних рiвнянь другого та третього порядкiв асимптотично близьких до лiнiйних. Встановлено асимптотичнi зображення кожного з можливих типiв P_ω(Y₀, λ₀)-розв’язкiв, з’ясовано питання про їх кiлькiсть. Отримано також наслiдки з одержаних теорем для випадкiв, коли рiвняння є лiнiйним диференцiальним рiвнянням.

ОДНЕ НОВЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ РОЗПОДIЛУ КОШI

Є. В. Турчин — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

У роботi розглядається новий розподiл iз важкими хвостами — p-узагальнений розподiл Кошi. Ця нова 5-параметрична сiм’я розподiлiв є значно гнучкiшою порiвняно з класичним розподiлом Кошi, зокрема, до неї входять i асиметричнi розподiли. Розглянутi рiзнi числовi характеристики нових розподiлiв, зокрема, моменти дробового порядку та “подвiйно неповнi” моменти. Також отриманi (числовими методами) значення нормованих центральних моментiв вищих порядкiв, що базуються на квантилях — асиметрiї Bowley та ексцеса Moors. Придатнiсть p-узагальненого розподiлу Кошi до моделювання реальних даних пiдтверджена пiдгонкою цього розподiлу до ряду приростiв логарифмiв цiн акцiй. При цьому для p-узагальненого розподiлу Кошi отримано менше значення статистики AIC, нiж для звичайного розподiлу Кошi, асиметричного розподiлу Кошi, узагальненого логiстичного розподiлу та гiперболiчного розподiлу.

АСИМПТОТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ДЕЯКИХ КЛАСIВ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ АСИМПТОТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ БЛИЗЬКИХ ДО ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Н. В. Шарай, В. М. Шинкаренко — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

У роботi, використовуючи априорнi властивостi класу P_ω(λ₀)-розв’язкiв, встановлюються умови iснування одного класу розв’язкiв у двочленного неавтономного диференцiального рiвняння третього порядку з нелiнiйнiстю, близькою у деякому сенсi до лiнiйної, у критичному випадку, а саме коли λ₀= ±∞. Отримано асимптотичнi при t↑ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого та другого порядку у випадку λ₀= ±∞. Доведенi для нелiнiйного рiвняння леми та теореми перенесено на лiнiйнi диференцiальнi рiвняння третього порядку з асимптотично малими коефiцiєнтами. Перенесенi результати не суперечать, та, в деякiй мiрi, доповнюють вiдомi результати щодо асимптотичного поводження розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь третьго порядку.

ОПЕРАЦIЇ НАД БЛОЧНИМИ ПРЕДИКАТНИМИ МАТРИЦЯМИ

Н. А. Якімова — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

В данiй статтi розглянуто можливiсть виконання основних логiчних операцiй над матрицями, якi роздiлено на прямокутнi блоки в якiйсь довiльний спосiб. Отриманi результати проiлюстрованi на прикладi предикатних логiчних матриць, що заданi над полем скiнченних предикатiв довiльної арностi. Також обґрунтовано можливiсть розповсюдити отриманi результати на булевi матрицi (вважається, що їх задано над полем скiнченних предикатiв нульової арностi). В той же час з використанням апарату багатозначної логiки, вiдштовхуючись вiд булевих логiчних матриць, отриманi результати можна розповсюдити на дослiдження логiчних об’єктiв, що не є булевими. Блочне роздiлення матриць дозволяє розбивати iнформацiю, подану у матричному виглядi, на частини, обробляти їх окремо, а потiм поєднувати в єдине цiле, дотримуючись певних правил та обмежень, що описанi в данiй статтi. Цi методи можуть знайти своє застосування в теорiї графiв, теорiї алгоритмiв, програмуваннi та iнших сферах теоретичної та практичної дiяльностi, що так чи iнакше пов’язанi з математичною логiкою.

У класичнiй лiнiйнiй алгебрi широко використається апарат матриць. Але класична лiнiйна алгебра має справу iз безперервними об’єктами. Логiчна алгебра, побудована за аналогiєю з класичною лiнiйною алгеброю, будує тi ж самi моделi за допомогою дискретних об’єктiв, що мають логiчну структуру i пiдкоряються вiдповiдним законам. Це призводить до суттєвих вiдмiнностей у функцiонуваннi побудованих моделей. Дана стаття присвячена матрицям, в якостi елементiв для яких взято елементарнi логiчнi елементи, а саме скiнченнi предикати довiльної арностi. В роботi дослiдженi властивостi таких матриць та особливостi їх застосування за умови їх блочного подання. Також розглянуто основнi операцiї над такими матрицями. Крiм звичайних операцiй, що мають мiсце в класичнiй лiнiйнiй алгебрi, логiчнi структури дозволяють виконувати це декiлька операцiй. Особливу увагу придiлено операцiї добутку блочних предикатних матриць з урахуванням їх особливостей, пов’язаних з логiчною структурою таких об’єктiв.

БЕЗПОСЕРЕДНЄ РОЗВ’ЯЗАННЯ ДИНАМIЧНОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ПРУЖНОГО ЧВЕРТЬ ПРОСТОРУ

Г. О. Фесенко — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Побудовано поле перемiщень у пружному чверть простору, коли одна границя жорстко закрiплена, а на iншiй дiє динамiчна нормальна стискальна сила, зосереджена у точцi. Задачу було розв’язано iз застосуванням методу iнтегральних перетворень Лапласа та Фур’є безпосередньо до рiвнянь руху та граничних умов. Це призводить до одновимiрної векторної неоднорiдної крайової задачi вiдносно невiдомих трансформант перемiщень. Цю задачу розв’язано з допомогою матричного диференцiального числення. Фундаментальна матриця та спадаючий розв’язок вiдповiдного матричного рiвняння були побудованi з допомогою основної теореми про лишки. Сингулярне iнтегральне рiвняння отримано у процесi реалiзацiї граничної умови. Слабко збiжна частина рiвняння була пiдсумована iз видiленням сингулярного ядра. Поведiнку невiдомої у iнтегральному рiвняннi функцiї було проаналiзовано на основi її механiчного змiсту. Невiдому функцiю подано у виглядi ряду по полiномам Лагерра. Оригiнал вертикального перемiщення було отримано пiсля застосування обернених iнтегральних перетворень.

ДО 85-РIЧЧЯ АКАДЕМIКА НАН УКРАЇНИ АНАТОЛIЯ МИХАЙЛОВИЧА САМОЙЛЕНКА

О. М. Станжицький — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Стаття присвячена видатним науковим здобуткам Анатолiя Михайловича Самойленка, академiка НАН України, чиє iм’я назавжди залишиться в iсторiї свiтової математичної науки.

ДО 85-РIЧЧЯ ПРОФЕСОРА ВIКТОРА ОЛЕКСАНДРОВИЧА ПЛОТНIКОВА

О. Д. Кічмаренко — вт, 19 гру 2023 00:00:00 +0200

Стаття присвячена науковим ідеям та напрямкам, що були започатковані видатним українським математиком Віктором Олександровичем Плотніковим і розвиваються в роботах його учнів, українських і зарубіжних науковців.