Дослідження в математиці і механіці

Метод Ньютона та його візуалізація

Ю. О. Григор'єв — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Актуальність роботи. Математичне модулювання в різних галузях науки і техніки часто приводить до нелінійних рівнянь або систем таких рівнянь. Далеко не завжди ці рівняння можна розв’язати точними методами. Частіше доводиться застосовувати наближені методи. Одним із самих популярних із них є метод Ньютона. У сучасних роботах метод Ньютона часто служить основою для розробки нових наближених методів, які прискорюють збіжність ітераційних процесів або застосовують для розв’язання систем великих порядків.

Мета роботи. Візуалізувати роботу алгоритму розв'язання рівняння, а також системи рівнянь за методом Ньютона, щоб результати цієї роботи можна було б використовувати при складанні електронних підручників з вивчення даного методу. Іншою метою є дослідження методу у разі, коли система має декілька розв’язків; вивчити можливість застосування методу для рівнянь з нескінченною кількістю розв’язків.

Асимптотична поведінка розв'язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь четвертого порядку

В. М. Євтухов, С. В. Голубєв — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Для двочленого неавтономного звичайного диференцiального рiвняння четвертого порядку з експоненцiальною нелiнiйнiстю та неперервним i вiдмiнним вiд нуля у деякому лiвому околi ω(ω≤+∞) коефiцiєнтом p(t) дослiджується асимптотична поведiнка при t↑ω одного з можливих типiв P_ω(Y₀, λ₀)-розв’язкiв. Спочатку з використанням апрiорних асимптотичних властивостей розглядаємих P_ω(Y₀, λ₀)-розв’язкiв встановлюються необхiднi умови їх iснування, а також асимптотичнi зображення цих розв’язкiв та їх похiдних до третього порядку включно. Питання про фактичне iснування розв’язкiв з отриманими асимптотичними зображення вирiшується шляхом його зведення до питання про iснування зникаючих в особливiй точцi розв’язкiв у системи квазiлiнiйних диференцiальних рiвнянь, до якої рiвняння зводиться за допомогою деяких перетворень, що визначаються з урахуванням виду встановлених асимптотичних зображень. При цьому також вирiшується i питання про кiлькiсть розв’язкiв рiвняння зi знайденими асимптотичними зображенням.

Асимптотичні зображення розв'язків одного виду диференціальних рівнянь n-го порядку

В. В. Карапетров — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

У данiй роботi розглядається диференцiальне рiвняння n-го порядку (r(t)u^(m))^(n-m) = ∑^m_k₌₀ p_ku^(k), n ≥ 2, для якого знайденi умови iснування та асимптотичнi зображення розв’язкiв при деяких умовах на функцiї p_k та функцiю r. Розв’язки такого типу рiвнянь при m = 0 розглядалися у роботi Хiнтона, а при s ≡ 1 та m = n − 1 розглядалися у роботi Кiгурадзе I. Т. Результати, отримнi у данiй роботi для вказаного рiвняння, у деякому сенсi узагальнють результати, отриманi в роботах Хiнтона та I. Т. Кiгурадзе. При отриманнi асимптотичних зображень за допомогою замiн рiвняння перетворюється у еквiвалентну систему квазалiнiйних диференцiальних рiвнянь, для якої виконуються вiдомi результати Левiнсона, рiвняння у деякому сенсi асимптотично еквiвалентне до вiдповiдного двочленного диференцiального рiвняння n-го порядку.

Усереднення в лінійних за керуванням задачах оптимального керування системами в дискретному часі із змінним запізненням

А. О. Латиш — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Для дискретних рівнянь керованого руху із змінним запізненням у стані системи та з параметром керування, що входить лінійно, обгрунтовано можливість застосування методу усереднення. Для задачі оптимального керування на траєкторіях такої системи з термінальним критерієм доведено теорему про близькість значень критерія неусередненої задачі оптимального керування на оптимальному керуванні усередненої задачі з оптимальним значенням критерія неусередненої (вихідної) задачі. Тобто, оптимальне керування усередненої задачі є асимптотично оптимальним керуванням для вихідної задачі. Розроблено числово-асимптотичний метод розв'язання адачі оптимального керування системою в дискретному часі, яка містить змінне запізнення в стані та лінійно залежить від параметра керування.

Деякі системи звичайних диференціальних рівнянь з прямокутними матрицями, які частково розв’язані відносно похідних, навколо полюса.

Г. Є. Самкова, Д. Є. Ліманська — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

У сучасній теорії звичайних диференціальних рівнянь та систем рівнянь з невідомою комплекснозначною функцією комплексної змінної чільне місце займають системи рівнянь, які не розв’язані або частково розв’язані відносно похідних. Вивчається система звичайних диференціальних рівнянь, які частково розв’язні відносно похідних, з прямокутними матрицями навколо полюса. У статті наведені умови приведення системи звичайних диференціальних рівнянь, яка частково розв’язна відносно похідних до системи звичайних диференціальних рівнянь спеціального вигляду. Доведена теорема з достатніми умовами існування хоча б одного розв’язку задачі Коші, у якого частина компонентів є аналітичними функціями у областях з нерухомою особливою на межі, а решта компонентів є функціями вибраними з певного класу функцій.

Асимптотичні зображення Pω(Y0, Y1, ±∞)-розв'язків диференціального рівняння другого порядку, яке містить добуток різного типу нелінійностей від невідомої функції та її похідної

О. О. Чепок — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Дослідження асимтотичних зображень розв'язків диференціальних рівняння, зокрема, другого порядку, які містять у правій частині нелінійності різних видів грають важливу роль у розвитку якісної теорії диференціальних рівнянь. У даній роботі розглянуто тип диференціальних рівнянь другого порядку, які містять у правій частині добуток правильно змінної функції від невідомої функції та швидко змінної функції від похідної невідомої функції при прямуванні відповідних аргументів до нуля або нескінченності. Отриманно необхідні та достатні умови існування повільно змінних P_ω(Y₀, Y₁, ±∞)-розв'язків таких рівнянь. Також отримані асимптотичні зображення таких розв'язків та їх похідних першого порядку. Зауважимо, що при накладанні додаткових умов на коефіцієнти характеристичного рівняння, таких P_ω(Y₀, Y₁, ±∞)-розв'язків рівняння існує однопарамерична сім'я. Подібні результати були отримані раніше при розгляді рівнянь другого порядку, які містять у правій частині добуток швидко змінної функції від невідомої функції та правильно змінної функції від похідної невідомої функції при прямуванні аргументів до нуля або нескінченності. Для рівнянь, які розглядаються у даній роботі, подібні результати є новими.

Асимптотичне зображення деяких класів розв'язків диференціального рівняння третього порядку

Н. В. Шарай, В. М. Шинкаренко — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Встановлюються умови існування одного класу розв'язків у двочленного неавтономного диференціального рівняння третього порядку з нелінійністю, близькою у деякому сенсі до лінійної. Із застосуванням априорних властивостей так званих P_ω(λ₀)-розв'язків, отримано асимптотичні при t↑ω(ω≤+∞) зображення для таких розв'язків та їх похідних першого та другого порядку у випадку λ₀ = 0. Твердження, що доведені для нелінійного рівняння, перенесено на лінійні диференціальні рівняння третього порядку з асимптотично малими коефіцієнтами. Зазначене дозволило, в деякій мірі, доповнити відомі результати щодо асимптотичних властивостей розв'язків лінійних диференціальних рівнянь третьго порядку.

Матричне подання операцій над графами

Н. А. Якімова, М. Є. Клішин — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Теорія графів має широке розповсюдження з практичної точки зору. Графи оточують нас у повсякденному житті (наприклад, карти доріг та шляхів), а також відіграють важливу роль в наукових дослідженнях (наприклад, електросхеми). Для побутового застосування, безумовно, найзручнішим є геометричний спосіб подання графів. Але для комп'ютерної обробки інформації це не є раціональним. В цих випадках використовується матричне подання графів у вигляді матриць суміжності або матриць інцидентності. Тому все більшого значення набувають дослідження, присвячені саме цій темі. В даній статті розглядається можливість виконання операцій над матрицями, якими подано графи. Ці методи мають свої особливості та обмеження. Вони також розглянуті в даній статті. Для кожної операцій запропонований варіант обробки як матриці суміжності, так і матриці інцидентності для орієнтованих та неорієнтованих графів, показано відмінності такої обробки в залежності від виду графу.

Числа виду n = (u^2 + dv^2)ω в арифметичній прогресії

Г. С. Бєлозьоров, А. В. Воробйова — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Нехай R(n) означає кількість зображень натурального n у вигляді n = (u² + v²)ω, u,v ∈ Z, ω ∈ N. Функція R(n) є аналогом функції дільників d₃(n). Узагальнюючи результат Хіз-Брауна про розподіл значень функції d₃(n) на арифметичній прогресії n ≡ a(modq), (a, q) = 1, зі зростаючою разом з x різницею прогресії q, побудована асимптотична формула для суматорної функції для R(n), яка нетривіальна для q ≤ x^1/2log^-3x. При доведенні цього результату використовується скорочене функціональне рівняння дзета-функції Гекке з уявного квадратичного поля Q(√-d) з зсувом на прямій Res = 1/2 + Δ, │Δ│ < 1/2.

Динамічна задача про дію розподіленого навантаження на пружний шар

Г. А. Фесенко, К. С. Бондаренко — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Побудовано хвильове поле пружного півшару, коли на одній грані у початковий момент часу діє динамічне нормальне навантаження, розподілене за прямокутною ділянкою. Нижня границя півшару жорстко зачеплена з основою, а торець знаходиться в умовах гладкого контакту. Використовується метод розвалу системи рівнянь руху на систему рівнянь та незалежно розв'язуване рівняння, цей підхід був запропонование Поповим Г.Я. Застосовуються інтегральні перетворення Лапласа та Фур'є безпосередньо до рівнянь руху та крайових умов, що зводить задачу до векторної одновимірної крайової задачі, яку розв'язано методом матричного диференційного числення. Вихідні переміщення отримано застосуванням обернених інтегральних перетворень. Розглянуто випадок усталених коливань та проаналізовано амплітуду вертикальних переміщень, що виникають у шарі в залежності від форми ділянки розподіленого навантаження, матеріалу середовища шару та значень власної частоти коливань шару.

Необхідні умови існування Pω(Y0, Y1, λ0)-розв'язків диференціального рівняння другого порядку з щвидко змінною нелінійністю

Л. І. Кусік — Fri, 15 Mar 2024 00:00:00 +0200

Розглядаємо диференцiальне рiвняння другого порядку загального виду y’’ = f(t, y, y’), де f : [a, ω] x Δ_Y0 x Δ_Y1 → R – неперервна функцiя, −∞ < a < ω ≤ +∞, Δ_Yi – одностороннiй окiл Y_i, Y_i ∈ {0, ±∞} (i ∈ {0, 1}). При певних умовах на функцiю f це рiвняння може бути подане близьким до двочленного, а саме y’’ = α₀p(t)ϕ₁(y’)(1 + o(1)) при t↑ω, де ϕ₁ – швидко змiнна при y’ → Y₁ функцiя. Знайдено необхiднi умови iснування розв’язкiв, для яких lim<sup>t↑ω</sup> y⁽ⁱ⁾ (t) + Y_i (i ∈ {0,1}), lim<sup>t↑ω</sup> [y’(t)]²/y(t)y’’(t) = λ₀, т. з. P_ω(Y₀, Y₁, λ₀)-розв’язкiв. Такого типу розв’язки ранiше було ведено в роботах Євтухова В. М., Белозерової М. О. при вивченнi двочленного рiвняння y’’ = α₀p(t)ϕ₀(y)ϕ₁(y’), де α₀ ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[→]0, +∞[–неперервна функцiя, ϕ_i : Δ_Yi →]0, +∞[(i = 0, 1)–неперервнi правильно змiннi при z → Y_i (i = 0, 1) функцiї порядкiв σ_i (i = 0, 1), причому σ₀ + σ₁ ≠ 1. Далi, у дослiдженнях Євтухова В. М., Чернiкової А. Г. для рiвняння y’’ = α₀p(t)ϕ₀(y) встановлено необхiднi, достатнi умови iснування, а також асимптотичнi при t↑ω зображення P_ω(Y₀, Y₁, λ₀)-розв’язкiв у випадку, коли ϕ₀ – швидко змiнна при y → Y₀ функцiя.