Дослідження в математиці і механіці

ПАМ’ЯТІ ПРОФЕСОРА ВАРБАНЦЯ ПАВЛА ДМИТРОВИЧА

С. П. Варбанець — 2025-10-30

Одеська математична школа у представництві Одеського національного університету імені І. І. Мечникова (Імператорський Новоросійський університет (1865-1917), Новоросійський університет (1917-1920), Одеський державний університет імені І. І. Мечникова (1920-2000)) завжди вважалася однією з найкращих. На теренах університету працювало багато відомих науковців-математиків. Серед них: С. О. Шатуновський, В. Ф. Каган, Г. М. Фіхтенгольц, І. М. Занчевський, Н. Г. Чеботарьов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн, Б. Н. Делоне, М. А. Наймарк, Д. П. Мільман, М. С. Лівшиц, І. Ц. Гохберг, Б. Я. Левін, В. П. Шмульян, А. П. Артьоменко, В. М. Адамян, Г. Алексеєвич, В. І. Слешинський, В. А. Циммерман, Б. С. Мітягін, Ю. А. Смекалков. Представником радянської теоретико-числової математичної школи, а також єдиним представником української теоретико-числової математичної школи був Варбанець Павло Дмитрович.

ДЕЯКІ ПИТАННЯ ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ПРОСТОРІВ АФІННОЇ ЗВ’ЯЗНОСТІ

Н. В. Вашпанова — 2024-12-17

Ідея вивчення геометричних об’єктів в околі довільної точки з точністю того чи іншого порядку частково застосовувалася в геометрії і призводила до глибшого вивчення цих об’єктів. В теорії кривих у диференціальному околі першого порядку виникає інваріантний вектор до дотичної. Це дозволяє ввести поняття довжини дуги кривої та вибрати її як параметр. У диференціальному околі другого порядку будується вектор головної нормалі та кривина кривої. При розгляді диференціального околу третього порядку отримуємо скрут кривої. В роботі досліджуються простори афінної зв’язності без скруту. Розроблені методи побудови наближених геометричних об’єктів та вивчені їх властивості відносно аналогічних об’єктів в заданому просторі афінної зв’язності. Дослідження ведуться в спеціальній системі координат. Отримані результати застосовані для вивчення рухів в просторах афінної зв’язності. Знайдено вид вектора Кілінга в наближених просторах афінної зв’язності.

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ШВИДКО ЗМІННИХ РОЗВ’ЯЗКІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З НЕЛІНІЙНОСТЯМИ БЛИЗЬКИМИ ДО ПРАВИЛЬНО ЗМІННИХ

А. В. Воробйова — 2024-12-17

Для диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями загального вигляду, що є близькими до правильно змінних, вперше отримано необхідні та достатні умови існування досить широкого класу швидкозмінних розв’язків. Ця робота розширює та узагальнює класичні результати, отримані для рівнянь Емдена-Фаулера, та дозволяє застосувати асимптотичні методи до більш складних моделей. Крім того, отримано точні асимптотичні формули для таких розв’язків та їх похідних першого порядку. Ці формули є важливим інструментом для аналізу якісної поведінки розв’язків у залежності від властивостей коефіцієнтів рівняння. Отримані результати дозволяють прогнозувати поведінку розв’язків у околі особливої точки, що має велике значення для прикладних задач у фізиці, хімії та інших науках.

ПРО ПРОДОВЖУВАНІСТЬ РОЗВ’ЯЗКІВ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ НА ПРОМІЖОК НАПЕРЕД ЗАДАНОЇ ДОВЖИНИ

Р. Г. Грабовська — 2024-12-17

У статті досліджуються сингулярні диференціальні системи, особливі криві та поверхні яких є прямими та площинами. Аналізується питання існування розв’язків, що продовжуються до особливої точки на заданий проміжок, та одержання їх якісних оцінок. Для дослідження використовуються геометричні методи, зокрема концепція кривих і поверхонь без контакту. Основна увага приділена способу вибору таких кривих, форма яких визначається поведінкою інтегральних траєкторій системи. Результати роботи мають значення для теорії сингулярних рівнянь і якісного аналізу динамічних систем.

АРЕАЛЬНА НЕСКІНЧЕННО МАЛА ДЕФОРМАЦІЯ ПОВЕРХНІ ГАУДІ

В. М. Євтухов — 2024-12-17

Дана стаття присвячена дослідженню нескінченно малих ареальних деформацій поверхні Гауді. Ці поверхні, які були названі на честь відомого каталонського архітектора Антоніо Гауді, використовуються в архітектурі як покрівельні конструкції, елементи декорування тощо. Раніше Velіmіrovіc L. S., Cvetkovіc M. D. та інші досліджували нескінченно малі згинання поверхні Гауді. У цій статті доведено, що поверхня Гауді допускає довільну ареальну нескінченно малу деформацію, яка описується через дві довільні неперервно диференційовні функції, і наведено явний вираз вектора зміщення у декартових координатах. Окремо розглянуто випадок тангенціальної ареальної деформації з отриманням відповідного вектора зміщення. Крім того, доведено існування дійсної ортогональної сітки ліній стаціонарної довжини на поверхні Гауді та виведено диференціальне рівняння для її побудови.

ПРО КОНФОРМНІ ВІДОБРАЖЕННЯ ІЗ ЗБЕРЕЖЕННЯМ ТЕНЗОРА ЕНЕРГІЇ-ІМПУЛЬСУ

В. А. Кіосак — 2024-12-17

Вивчаються конформні відображення псевдоріманових просторів із збереженням тензора енергії-імпульсу. Розв’язок задачі зведений до розв’язування системи диференціальних рівнянь першого порядку в коваріантних похідних. Виявлено лакунарність, наявність заборонених інтервалів, у розподілі кількості розв’язків зазначеної системи. Отримано тензорні ознаки та вивчено деякі геометричні властивості псевдориманових просторів, відмінних від пласких, що допускають максимальну кількість розв’язків цієї системи. Для чотиривимірних просторів ці результати дають повний опис псевдориманових просторів, що допускають відображення із збереженням тензора енергії-імпульсу.

Дослідження ведуться локально, тензорними методами без обмежень на сигнатуру та знаковизначенність метричного тензору псевдоріманового простору.

АСИМПТОТИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ ОДНОГО КЛАСУ РОЗВ’ЯЗКІВ З ПОВІЛЬНО ЗМІННИМИ ПОХІДНИМИ ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

М. О. Білозерова — 2024-12-17

Для істотно нелінійних диференціальних рівнянь, що є в деякому сенсі близькими до рівнянь типу Емдена-Фаулера було знайдено необхідні та достатні умови існування одного класу особливих розв’язків. Також отримано асимптотичні зображення для таких розв’язків та їх похідних першого порядку.