Ітераційний алгоритм обчислення власних значень і власних функцій задачі Штурма--Ліувілля

Автор(и)

  • В. В. Вербицкий Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, Ukraine
  • И. Н. Иванищева Одесский национальный политехнический университет, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.18524/2519-206x.2018.1(31).134616

Ключові слова:

задача Штурма-Ліувілля, власне значення, асимптотичні формули для власних значень, метод скінченних елементів

Анотація

Запропоновано ітераційний алгоритм обчислення $i$-го власного значення (в. з.) і відповідної власної функції (в. ф.) задачі Штурма-Ліувілля на скінченному інтервалі. Алгоритм використовує відомі асимптотичні формули для в. з. і в. ф. задачі Штурма-Ліувілля. Кожна ітерація алгоритму вимагає розв'язання крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку. Ліва частина цього рівняння є диференціальним оператором лівої частини рівняння Штурма-Ліувілля з деяким зсувом, а права - наближенням до шуканої в. ф. Наведено приклад, в якому згадана крайова задача вирішувалася методом скінченних елементів з тригонометричними функціями-кришками, визначеними на рівномірній сітці. У цьому прикладі запропонований алгоритм фактично зводиться до ітераційного алгоритму визначення $i$-го в. з. скінченно-елементної апроксимації задачі Штурма-Ліувілля, що є узагальненою матричною задачею на в. з., тільки $i$-е в. з. якої наближає в. з. вихідної задачі.

Посилання

Vinokurov, V. A., Sadovnichy, V. A. (2000). Asimptotika lyubogo poryadka sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy krayevoy zadachi Shturma - Liuvillya na otrezke s summiruyemym potentsialom [Asymptotics of any order of proper values and eigenfunctions of the Sturm - Liouville boundary value problem on the interval with summable potential]. Izv. RAN. Ser. matem., Vol. 64, № 4, P. 47-108.

Levitan, B. M., Sarkisian, I. S. (1988). Operatory Shturma - Liuvillya i Diraka [Operators of Sturm - Liouville and Dirac]. Moscow, Nauka. 432 p.

Makarov, V. L. (1991). O funktsional'no-raznostnom metode proizvol'nogo poryadka tochnosti resheniya zadachi Shturma - Liuvillya s kusochno-gladkimi koeffitsiyentami [On a functional-difference method of an arbitrary order of accuracy for the solution of the Sturm - Liouville problem with piecewise smooth coefficients]. DAN SSSR, Ser. matem., Vol. 320, № 1, P. 34-39.

Makarov, V. L., Romanyuk, N. M. (2014). Novi vlastyvosti FD-metodu pry yoho zastosuvannyakh do zadach Shturma - Liuvillya [New properties of FD-method in its applications to Sturm - Liouville tasks]. Rep. of the National Academy of Sciences of Ukraine, № 2, P. 26-31.

Marchenko, V. A. (1977). Operatory Shturma - Liuvillya i ikh prilozheniya [Operators of Sturm - Liouville and their applications]. Kyev: Nauk. dumka, 331 p.

Prikazchikov, V. G. (1969). Odnorodnyye raznostnyye skhemy vysokogo poryadka tochnosti dlya zadachi Shturma -Liuvillya [Homogeneous difference schemes of high order of accuracy for the Sturm - Liouville problem]. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., Vol. 9, № 2, P. 315–-336.

Paine, J. W., de Hoog, F. R. and Anderssen, R. S. (1981). On the correction of finite difference eigenvalue approximations for Sturm - Liouville problems. Computing, Vol. 26, i. 2, P. 123-139.

Prikazchikov, V. G., Loseva, M. V. (2004). High-accuracy finite-element method for the Sturm - Liouville problem. Cybernetics and Systems Analysis. Vol. 40, №. 1, P. 1-6.

Pryce, John D. (1993). Numerical Solution of Sturm - Liouville Problems. Oxford University Press, 322 p.

Vanden, Berghe G., De Meyer, H. (1994). A finite-element estimate with trigonometric hat functions for Sturm - Liouville eigenvalues. J. of Comput. and Applied Mathematics, Vol. 53, P. 389-396.

##submission.downloads##

Опубліковано

2018-06-01

Номер

Том 23 № 1(31) (2018)

Розділ

Математика та механіка

Ліцензія

Авторське право (c) 2020 Дослідження в математиці і механіці

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:

  1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
  3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) роботи, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).